ปริศนาคณิตศาสตร์ - สะพานทั้งเจ็ดแห่ง Konigsberg




ล้อมรอบระหว่างโปแลนด์และลิทัวเนียตามชายฝั่งทะเลบอลติก เป็นพื้นที่ส่วนหนึ่งของรัสเซียที่อยู่ห่างจากชายแดนรัสเซีย 200 ไมล์ ดินแดนKaliningrad ซึ่งเป็นเขตยกเว้นของรัสเซียเดิมเป็นรัฐปรัสเซีย ก่อนที่จะถูกย้ายไปยังสหภาพโซเวียตหลังสิ้นสุดสงครามโลกครั้งที่สองเมื่อมหาอำนาจพันธมิตรพบกันที่ Potsdam เพื่อตัดสินว่าใครจะได้ดินแดนใด ย้อนกลับไปก่อนหน้านั้น Kaliningrad เป็นที่รู้จักกันในชื่อ Königsberg กับการไขปริศนาทางคณิตศาสตร์

ความสัมพันธ์ของ Königsberg กับวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 18 ในปี 1735 ตอนนั้นเมืองนี้เป็นศูนย์กลางของเวทมนตร์ศาสตร์และวัฒนธรรมจากเยอรมนี โปแลนด์ และลิทัวเนีย ซึ่ง Königsberg เป็นบ้านเกิดของนักคณิตศาสตร์ชื่อดังอย่าง Christian Goldbach ซึ่งทุกวันนี้หากจำได้ถึงการคาดเดาของ Goldbach ซึ่งเป็นหนึ่งในปัญหาที่ไม่ได้รับการแก้ไขที่เก่าแก่ที่สุด และเป็นที่รู้จักกันดีที่สุดในทฤษฎีจำนวน David Hilbert ผู้สร้างช่องว่างของ Hilbert และ Carl Neumann สำหรับ Neumann series (คณิตศาสตร์อนุกรม) ที่โด่งดังที่ถูกสอนในโรงเรียนมัธยม

Königsberg ยังเป็นบ้านของ Gustav Kirchhoff นักฟิสิกส์ชื่อดัง (กฎหมายของ Kirchhoff เป็นพื้นฐานในการออกแบบวงจรไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์) และ Otto Wallach นักเคมีผู้ได้รับรางวัลโนเบล และ Immanuel Kant นักปรัชญาผู้มีชื่อเสียงอีกคนหนึ่งที่เกิดในเมืองนี้ที่ภูมิใจในเมืองบ้านเกิดของเขามากจนแทบไม่ได้ออกจากที่นี่เลยตลอดชีวิต

ในขณะที่เหล่าผู้ที่มีพรสวรรค์เหล่านี้ทั้งหมดของ Königsberg ทำให้เมืองนี้ภาคภูมิใจ แต่ Leonard Euler นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสเป็นผู้ซึ่งทำให้ชื่อของ Königsberg เป็นอมตะ

แผนที่ Königsberg ที่มีป้ายชื่อสะพานเจ็ดแห่งราวปี 1905
ตอนนี้ Konigsberg หรือ Kaliningrad ตั้งอยู่บนแม่น้ำ Pregel เมื่อแม่น้ำไหลผ่านเมืองทำให้เกิดเกาะใหญ่สองเกาะคือ Kneiphof และ Lomse ย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 18 หมู่เกาะเหล่านี้เชื่อมต่อกับฝั่งเหนือและฝั่งใต้ของแม่น้ำ รวมทั้งสะพานเจ็ดแห่งที่เชื่อมต่อกันซึ่งเป็นศูนย์กลางชีวิตของเมือง  ทำให้เมืองนี้เจริญรุ่งเรืองด้วยเศรษฐกิจการค้า และสาเหตุส่วนหนึ่งที่ทำให้เมืองสามารถทำทุกอย่างได้ดีเพราะมีโครงสร้างที่น่าสนใจเป็นพิเศษ 

พลเมืองของ Königsberg จะใช้เวลาในวันอาทิตย์ในการเดินรอบเมืองเพื่อความเพลิดเพลินกับเมืองที่สวยงามของพวกเขา  อย่างไรก็ตาม ดูเหมือนว่าไม่ว่าพวกเขาจะเริ่มต้นที่ไหนหรือไปทางไหนชาวเมืองก็ไม่สามารถหาเส้นทางที่ใช้สะพานทั้งเจ็ดได้ในครั้งเดียว ในการนี้พวกเขาได้สร้างเกมขึ้นมาและพิสูจน์แล้วว่าเป็นเรื่องยากอย่างเหลือเชื่อที่จะทำสำเร็จ  ปริศนาคือการเดินข้ามสะพานทั้งเจ็ดแห่งข้ามเกาะเพียงครั้งเดียวโดยไม่ต้องเดินซ้ำสะพานแม้แต่สะพานเดียว

เมื่อ Leonhard Euler นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวสวิสได้ยินเกี่ยวกับปัญหาที่น่าสนใจของเมือง Königsberg ที่กำลังเผชิญอยู่  ปริศนาดังกล่าวมีชื่อว่า  " The Seven Bridges of Königsberg Problem "  ปัญหาซึ่งดูเหมือนจะเป็นเรื่องง่าย เพราะมีสะพานตั้งเจ็ดแห่งเพื่อเชื่อมต่อเกาะทั้งสองและส่วนท้ายน้ำของเมือง  แม้ Euler เองก็ยังสงสัยว่าคน ๆ หนึ่งจะสามารถเดินข้ามสะพานทั้งเจ็ดได้เพียงครั้งเดียวเพื่อสัมผัสทุกส่วนของเมืองได้หรือไม่  โดยไม่มีข้อกำหนดว่าจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดต้องเป็นจุดเดียวกัน


เมือง Königsberg Cr.Historic Cities Research Project


ในที่สุด เขาก็แก้ปัญหานี้ด้วยมุมมองที่แตกต่างออกไปโดยใช้คณิตศาสตร์เพื่อพิสูจน์ว่า จะข้ามสะพานทั้งเจ็ดเพียงครั้งเดียวและเยี่ยมชมทุกส่วนของเมือง Königsberg ได้ โดยวิธีแก้ปัญหานั้นจะต้องมองว่าแต่ละสะพานเป็นจุดสิ้นสุด (จุดยอดในแง่คณิตศาสตร์) และเป็นการเชื่อมต่อกันระหว่างแต่ละสะพาน (โดยจุดยอด) ซึ่งตอนแรก Euler คิดว่ามีแต่สะพานจำนวนคู่เท่านั้นที่ให้ผลลัพธ์ที่ถูกต้องในการสัมผัสทุกส่วนของเมืองโดยไม่ต้องข้ามสะพานสองครั้ง

ดังนั้น เขาจึงกำหนดชุดการค้นพบและข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับวิธีกำหนดพื้นที่และช่องว่างที่ตัดกันรวมถึงคุณสมบัติของพวกมัน  โดยแทนที่จะเขียนเส้นทางข้ามที่เป็นไปได้ทุกเส้นทาง  เขาทำให้ปัญหาง่ายขึ้นโดยการวาดภาพในสมุดบันทึกของเขาซึ่งยังคงถูกเก็บรักษาไว้จนถึงวันนี้
จากการวิเคราะห์สมุดบันทึกของ Euler ที่จัดทำโดยสมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา  เขาแทนแผ่นดินเป็นตัวพิมพ์ใหญ่ - A, B, C, D - และติด track 
ตามสะพานที่ข้ามไปจากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด ตัวอย่างเช่น ในการข้ามจากพื้นดิน A ไปยัง B การเดินทางบนสะพานจะเรียกว่า AB และหากต้องข้ามจากจุดบก B ไปยัง D การเดินทางทั้งหมดจะเป็น ABD เพื่อแสดงถึงการข้ามสะพานสองแห่งและสัมผัสกับมวลแผ่นดินสามแห่ง

ในกระบวนการทำแบบฝึกหัดนี้ Euler ตระหนักว่าในการที่จะข้ามสะพานทั้งเจ็ดแห่งแบบในเมือง Königsberg ปัญหานั้นจำเป็นต้องมี “landmasses” อย่างน้อยแปดแห่งหรือลำดับตัวอักษรเพื่อแก้ปัญหา



  ภาพวาดต้นฉบับของ Euler (Solutio problematis ad geometriam situs pertinenti) , Cr.MAA Euler Archive


วิธีที่ Euler แก้ปัญหานี้คือการเปลี่ยนแนวทางของเขาและสร้างการแสดงที่ไม่มีใครเคยทำมาก่อน เขามองเห็นปัญหาสะพานทั้งเจ็ดเป็นเครือข่าย ซึ่งในที่สุดก็กลายเป็นพื้นฐานสำหรับโครงสร้างกราฟ หรือทฤษฎีกราฟสาขาคณิตศาสตร์ใหม่ที่เรารู้จักกันในปัจจุบัน  หลายศตวรรษหลังจากที่ Euler แก้ปัญหานี้ได้ นักคณิตศาสตร์ได้เปลี่ยนการนำเสนอเดียวกันของเขาในรูปแบบของกราฟซึ่งน่าจะคุ้นเคยกับเรามาก  และทุกวันนี้ ยังมีการอ้างถึงชนิดของกราฟ graph traversal ในลักษณะนี้ว่าเป็นกราฟที่มีเส้นทาง Eulerian หรือวงจร Eulerian

ปัจจุบัน ทฤษฎีกราฟเป็นเครื่องมือหลักในการวิจัยทางคณิตศาสตร์ และพบว่ามีการประยุกต์ใช้ในสาขาต่างๆเช่น วิศวกรรมไฟฟ้า การเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ และเครือข่ายการบริหารธุรกิจ สังคมวิทยา เศรษฐศาสตร์ การตลาดและการสื่อสาร ซึ่งการวิจัยล่าสุดชี้ให้เห็นว่าทฤษฎีกราฟสามารถให้ข้อมูลเชิงลึกที่น่าสนใจ เกี่ยวกับรายละเอียดการสื่อสารระหว่างเซลล์ประสาท ที่ส่งผลให้สูญเสียความทรงจำแบบก้าวหน้าของโรคอัลไซเมอร์

ในเวลาต่อมา สะพานทั้งเจ็ดในสมัยของ Euler  สองแห่งได้แก่ Krämerbrückenfest หรือ Merchant's Bridge และสะพาน Green Bridge ที่นำไปสู่และออกจากเกาะ Kneiphof ไม่รอดจากสงครามโลกครั้งที่สองในปี 1942 และถูกแทนที่ด้วยสะพานลอยคอนกรีตยาว 500 เมตร

สะพานอีกสองแห่ง - Schmiedebrückeหรือ Forge bridge และ Köttelbrücke ไม่รอดจากการทิ้งระเบิดครั้งใหญ่ในช่วงสงครามโลกครั้งที่สองและไม่ได้ถูกแทนที่
Honigbrücke หรือ Honey Bridge ที่เชื่อมระหว่างเกาะ Lomse กับ Kneiphof ทางทิศตะวันออก สะพานนี้เป็นสะพาน Kneiphof แห่งเดียวที่รอดพ้นจากสงครามโลกครั้งที่สองและยังคงพบเห็นได้ในปัจจุบัน  และสะพานแห่งที่ 7 และสะพานสุดท้าย Hohe Brücke หรือสะพาน High Bridge ที่เคยข้ามไปยัง Lomse พังยับเยินและแทนที่ด้วยสะพานใหม่เช่นกัน



Seven Bridges of Königsberg ในรูปแบบกราฟ



Seven Bridges of Königsberg 
Giblets Bridge



Blacksmith Bridge



Shopkeeper Bridge



ภาพที่ไม่ระบุวันที่ของ Green Bridge ก่อนที่มันจะถูกทำลาย



The Honey Bridge



ที่มา



(ขอขอบคุณที่มาของข้อมูลทั้งหมดและขออนุญาตนำมา)

แสดงความคิดเห็น
Preview
โปรดศึกษาและยอมรับนโยบายข้อมูลส่วนบุคคลก่อนเริ่มใช้งาน อ่านเพิ่มเติมได้ที่นี่