ช่วยอธิบาย Banach–Tarski Paradox ทีหาอ่านแล้วก็ไม่เข้าใจ เอาบอล 1 ลูกประกอบใหม่ จะได้บอลแบบเดิมเป็น 2 ลูก

ต้องขอเกริ่นก่อนว่า Banach-Tarski Theorem (ขอไม่เรียก paradox เพราะมันไม่มีอะไร paradox เลย) มันเป็นทฤษฎีที่เป็นจริงแค่ทางคณิตศาสตร์ครับ ไม่ใช่ในเชิงกายภาพ  และตามความรู้เท่าที่มีอยู่ในปัจจุบันเชื่อว่าทฤษฎีนี้ไม่น่าจะนำไปประยุกต์ในระดับมหภาคได้เพราะ Banach-Tarski Theorem ใช้ Axiom of Choice ในการแบ่งลูกบอลก่อนเอามาประกอบใหม่  และ Axoim of Choice นี่เชื่อกันว่าไม่มี counterpart ในโลกจริงๆ



ไอเดียหลักๆคือวัตถุทั่วไปในโลกเวลาเราเลื่อนมันไปมา หรือหมุนไปรอบๆแล้วปริมาตรของมันก็ยังคงที่ ไม่ได้เพิ่มขึ้น/ลดลงแต่อย่างใด  ซึ่งการเลื่อนที่/หมุนในทางคณิตศาสตร์นี่ก็มีสมบัตินี้ด้วยกับพวกวัตถุที่มีสมบัติ measurable   พูดง่ายๆก็คือถ้าวัตถุมีปริมาตร การเลื่อนที่/หมุนก็จะไม่ทำให้ปริมาตรเปลี่ยน   อย่างไรก็ดี Axiom of Choice ทำให้เราสามารถสร้างวัตถุที่ไม่มีปริมาตรได้ (ไม่มีนี่คือไม่ได้แปลว่าปริมาตรเป็น 0 หรือเป็น infinity นะครับ  ไม่มีคือไม่มีวิธีใดจะกำหนดปริมาตรให้มันได้เลย)

คราวนี้ Banach & Tarski ก็แบ่งบอลเป็น 5 ส่วน(หรือมากกว่า)โดยที่แต่ละส่วน "ไม่มีปริมาตร" แล้วที่นี้ปรากฎว่าส่วนที่ไม่มีปริมาตรแต่ละตัวที่ 2 คนนี้สร้างขึ้นมานี่มีสมบัติที่ว่าพอหมุนมันแล้วมัน "ใหญ่ขึ้นมาก" ซึ่งกับวัตถุธรรมดาแล้วเป็นไปไม่ได้   พอประกอบกลับมันเลยใหญ่กว่าเดิม  ตามข้างล่าง

Ball 1 ลูก (มีปริมาตร)  ->  แบ่งเป็น 5 ส่วน (ไม่มีปริมาตร)  ->  หมุนบางตัวในพวกนั้นแล้วใหญ่ขึ้น (ก็ยังไม่มีปริมาตรอยู่)  ->  ประกอบกลับได้ Ball 2 ลูก (มีปริมาตร)

จะว่าเราแอบโกงตรงกลางๆก็ได้  ที่ทฤษฎีนี้เป็นไปได้เพราะเราสามารถ "ตัด" ของที่มีปริมาตรออกเป็นของที่ไม่มีปริมาตรหลายชิ้นได้  และเรายังสามารถประกอบของที่ไม่มีปริมาตรให้กลายเป็นของที่มีปริมาตรได้



ที่ผมพูดถึง Axiom of Choice หลายครั้งเพราะว่า Banach-Tarski Theorem นี่จำเป็นต้อง assume สัจพจน์ข้อนี้ ถ้าเราไม่ assume จะพิสูจน์ไม่ได้  และเนื่องจากเราไม่รู้ว่าในโลกแห่งความเป็นจริง Axoim of Choice มีความหมายเชิงกายภาพมั้ย จึงนำไปประยุกต์ไม่ได้ครับ