‘จำนวนครั้งของการทดลอง,ความน่าจะเป็น’ มีความสัมพันธ์(สมการ)กับ ‘การที่สถิติผลการทดลองเข้าใกล้ความน่าจะเป็น’ อย่างไรครับ

กระทู้คำถาม

คณิตศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ สถิติ (Statistics) สมการ (คณิตศาสตร์) นักสถิติ

ขอออกตัวก่อนนะครับว่าผมไม่ได้มาสายคณิตศาสตร์โดยตรงแต่อย่างใด
ดังนั้นอาจจะใช้คำไม่ตรงกับหลักการบ้าง

แน่นอนครับผมทราบว่า ในการทดลองต่างๆเช่นการ โยนเหรียญ หรือ การทอยลูกเต๋า
‘จำนวนครั้งของการทดลอง’ยิ่งมากเท่าไร ผลของ’สถิติ’ที่เก็บมาได้ ยิ่งตรงกับค่า’ความน่าจะเป็น’ในทางทฤษฎีมากเท่านั้น
แต่ผมเกิดสงสัยขึ้นมาว่า ..
มีสมการที่สามารถคำนวณหาเพื่อความสัมพันธ์ของ..
‘ความแม่นยำหรือความคลาดเคลื่อนของ สถิติ เทียบกับ ความน่าจะเป็น’ และ ‘จำนวนครั้งของการทดลอง’ ได้หรือไม่

และอีกสิ่งหนึ่งที่ผมสงสัยคือ แล้ว’ความน่าจะเป็น’ มีผลกับ ‘ความรวดเร็วในการที่สถิติผลการทดลองเข้าใกล้ความน่าจะเป็น’ หรือไม่
(รวดเร็วมาก คือ ทดลองไม่กี่ครั้ง สถิติก็แสดงผลของความน่าจะเป็นออกมาแล้ว , รวดเร็วน้อยคือ ต้องทดลองหลายๆครั้งสถิติจึงจะแสดงผล )
เพื่อให้เห็นภาพมากขึ้นผมขอยกตัวอย่างแบบนี้ครับ..

สมมุติผมมี ‘เหรียญพิเศษ’ ที่ปรับค่า ความน่าจะเป็น ในการออกหัว(H)กับก้อย(T) ได้
การทดลองที่ 1 ผมปรับค่า ความน่าจะเป็น เป็น H : 50% และ T: 50%
โยนครั้งที่ 1 : H << หากนำผลสถิติไปแปลผลเลยจะได้ว่า (H:100% T:0%)
โยนครั้งที่ 2 : H H << (H:100% T:0%)
โยนครั้งที่ 3 : H H T << (H:66.67% T:33.33%)
โยนครั้งที่ 4 : H H T H << (H:75% T:25%)
.
โยนครั้งที่ 10 : H H T H T T H H T H << (H:60% T:40%)
.
โยนครั้งที่ 1000 : H H T H T T H H ……………. T H T T H T T T << (H:52% T:48%)
จะเห็นว่า สถิติ ต้องใช้เวลา(จำนวนครั้ง)เพื่อแสดงผลของ ความน่าจะเป็น ออกมา

การทดลองที่ 2 ผมปรับค่า ความน่าจะเป็น เป็น H : 0% และ T: 100%
โยนครั้งที่ 1 : T << หากนำผลสถิติไปแปลผลเลยจะได้ว่า (H:0% T:100%)
โยนครั้งที่ 2 : T T << (H:0% T:100%)
โยนครั้งที่ 3 : T T T << (H:0% T:100%)
โยนครั้งที่ 4 : T T T T << (H:0% T:100%)
.
โยนครั้งที่ 10 : T T T T T T T T T T << (H:0% T:100%)
จะเห็นว่า สถิติ แสดงผล ความน่าจะเป็น ออกมาตั้งแต่ครั้งแรกที่โยนแล้ว
(หรือเป็นกรณีพิเศษเฉพาะ 100% กับ 0%)

แล้วหากผลปรับค่า ความน่าจะเป็น เป็น 10:90 , 70:30 , 55:45
เวลา(จำนวนครั้ง)ที่ต้องใช้เพื่อให้ สถิติ แสดงผลของ ความน่าจะเป็น ออกมาจะเปลี่ยนแปลงหรือไม่อย่างไร

แล้ว ถ้าเปลี่ยน ’ความน่าจะเป็น’ มีความสัมพันธ์(สมการ) กับ ‘ความรวดเร็วในการที่สถิติผลการทดลองเข้าใกล้ความน่าจะเป็น’ อย่างไร

แต่ ถ้าไม่มีขอถามผู้รู้ทุกๆท่านเพิ่มว่าการทดลองโยนควรโยนอย่างน้อยกี่ครั้งเพื่อให้สถิติแสดงผลของความน่าจะเป็นออกมา

สรุปคำถาม (ขอคำตอบในรูปของสมการที่สามารถคำนวนได้หรือตัวเลขนะครับ)
1. ความสัมพันธ์ของ ‘ความแม่นยำหรือความคลาดเคลื่อนของ สถิติ เทียบกับ ความน่าจะเป็น’ และ ‘จำนวนครั้งของการทดลอง’ เป็นอย่างไร
2. หากผลปรับค่า ความน่าจะเป็น 'จำนวนครั้งที่ต้องใช้เพื่อให้ สถิติ แสดงผลของ ความน่าจะเป็น' ออกมาจะเปลี่ยนแปลงหรือไม่อย่างไร
3. ถ้าไม่มีในการทดลองโยนเหรียญควร 'โยนอย่างน้อยกี่ครั้ง' เพื่อให้ 'สถิติแสดงผลของความน่าจะเป็นออกมา'
(อาจจะตอบว่า 1000 ครั้ง มีความแม่นยำ/คลาดเคลื่อนเท่านี้ๆก็ได้ครับ)

ขอขอบคุณล่วงหน้าสำหรับคำตอบของทุกท่านครับ

แก้ไขข้อความเมื่อ

ถูกใจให้พอยต์

Qant_E4

คำตอบที่ได้รับเลือกจากเจ้าของกระทู้

ความคิดเห็นที่ 3

ศึกษาเรื่อง Law of large number ครับ

สุดท้ายแล้วมันจะลู่เข้าสู่ค่า Expectation ในกรณีโยนเหรียญคือความน่าจะเป็นของการออกหัว (ถ้านับหัวเป็น1 ก้อยเป็น0)
การทดลองโยนหัวก้อยจะมีการกระจายตัวแบบ Bernoulli distribution (เผื่ออ่านต่อครับ)

คิดไว้ว่ามันคือการทดลองสุ่ม เราไม่สามารถบอกได้ชัดว่าขั้นต่ำเท่าใด แต่เราบอกได้ว่า ถ้าทำถึงจำนวนเท่านี้ ค่ามันไม่ควรแกว่งเกินเท่านี้

คุณทดลอง 1000 ครั้ง ได้กราฟใน2-1 มาหนึ่งกราฟ
ผมอยากให้คุณลองทำอย่างนั้นซัก 20-30 กราฟ แล้วหาค่า Variance ที่ค่า n เดียวกันกับทุก ๆ กราฟดู

ที่ตำแหน่ง n เดียวกัน จะเห็นว่า Variance ที่เกิดขึ้นเป็นไปตามสมการ

p(1-p)/n

ซึ่งจะเห็นได้ว่าค่า p(1-p) นี่แหละเป้นตัวกำหนดว่ามันมีจุดเริ่มเท่าใด ถ้ามันน้อย ก็จะลู่เข้าเร็ว

โดยลักษณะแล้ว p(1-p) เป็นพาราโบลาคว่ำ จุดตัดที่ 0,1 ทำให้จุด0,1 มีการลู่เข้าสู่ค่าความน่าจะเป็นทันที และจุดที่ช้าสุดคือ p=0.5 หรือจุดยอดของกราฟพาราโบลานั่นเอง

และเมื่อ n-> inf จะได้ว่า มันจะลู่เข้าความน่าจะเป็น และ variance กลายเป็น 0 เพราะค่าที่ได้มันไม่ random อีกต่อไป (ลู่เข้าสู่ค่า ๆ หนึ่ง นั่นเอง)