Proof. In fact, if a is a limit point of E, then the base E ∋ x -> a of deleted
neighborhoods UoE{a) — UE{a) \ a of a is defined.
We recall that UE(a) = E ∩ U(a).
If f is continuous at a, then, by finding a neighborhood UE(a) for
the neighborhood V(f(a)) such that f(UE{a)) ⊂ V(f{a)), we will simultaneously
have f(UE(a)) ⊂ V(f(a)). By definition of limit, therefore,
lim f(x) = f(a).
E∋x->a
Conversely, if we know that lim f(x) = f(a) , then, given a neighborhood
E ∋ x—>a
V{f(a)), we find a deleted neighborhood UE(a) such that f(UE{a)) ⊂
v(f(a)). But since f(a) ∈ V(UE(a)), we then have also f(UE(a)) ⊂ V^(f(a)).
By Definition 1 this means that f is continuous at a ∈ E.
อันที่แปลไทย
พิสูจน์ ให้ จุดลิมิตของ E เป็นฐาน แล้ว E ∋ x ->a การลบของย่าน UoE (a) — UE (a) \ ที่กำหนดไว้
จะได้ UE(a) = E ∩ U(a)
ถ้า f ต่อเนื่องที่ a จากนั้น โดยการหาย่าน UE(a)
สำหรับย่าน V(f(a)) กล่าวว่า ⊂ f(UE{a)) ⊂ V(f{a))
เราพร้อมจะมี f(UE(a)) ⊂ V(f(a)) โดยนิยามของลิมิต
ดังนั้น จะได้ lim f (x) = f(a)
E∋x ->a
ในทางกลับกัน ถ้าเรารู้ว่า lim f (x) = f(a) จากนั้น แล้วกำหนดย่าน
V{f(a)) เราจะพบย่านลบ UE(a) ดังกล่าวนั้น f(UE{a)) ⊂ v(f(a))
แต่เนื่องจาก f(a) ∈ V(f(a)) และ f(UE(a)) ⊂ V^(f(a))
โดยนิยามบทที่1 หมายความว่า f ต่อเนื่องที่ a ∈ E
ช่วยดูให้หน่อยครับว่าควรแก้ไขปรับปรุงตรงไหน รบกวนด้วยนะครับ
ช่วยดูให้หน่อยครับว่าแปลพอได้ไหม เรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
neighborhoods UoE{a) — UE{a) \ a of a is defined.
We recall that UE(a) = E ∩ U(a).
If f is continuous at a, then, by finding a neighborhood UE(a) for
the neighborhood V(f(a)) such that f(UE{a)) ⊂ V(f{a)), we will simultaneously
have f(UE(a)) ⊂ V(f(a)). By definition of limit, therefore,
lim f(x) = f(a).
E∋x->a
Conversely, if we know that lim f(x) = f(a) , then, given a neighborhood
E ∋ x—>a
V{f(a)), we find a deleted neighborhood UE(a) such that f(UE{a)) ⊂
v(f(a)). But since f(a) ∈ V(UE(a)), we then have also f(UE(a)) ⊂ V^(f(a)).
By Definition 1 this means that f is continuous at a ∈ E.
อันที่แปลไทย
พิสูจน์ ให้ จุดลิมิตของ E เป็นฐาน แล้ว E ∋ x ->a การลบของย่าน UoE (a) — UE (a) \ ที่กำหนดไว้
จะได้ UE(a) = E ∩ U(a)
ถ้า f ต่อเนื่องที่ a จากนั้น โดยการหาย่าน UE(a)
สำหรับย่าน V(f(a)) กล่าวว่า ⊂ f(UE{a)) ⊂ V(f{a))
เราพร้อมจะมี f(UE(a)) ⊂ V(f(a)) โดยนิยามของลิมิต
ดังนั้น จะได้ lim f (x) = f(a)
E∋x ->a
ในทางกลับกัน ถ้าเรารู้ว่า lim f (x) = f(a) จากนั้น แล้วกำหนดย่าน
V{f(a)) เราจะพบย่านลบ UE(a) ดังกล่าวนั้น f(UE{a)) ⊂ v(f(a))
แต่เนื่องจาก f(a) ∈ V(f(a)) และ f(UE(a)) ⊂ V^(f(a))
โดยนิยามบทที่1 หมายความว่า f ต่อเนื่องที่ a ∈ E
ช่วยดูให้หน่อยครับว่าควรแก้ไขปรับปรุงตรงไหน รบกวนด้วยนะครับ