คำตอบที่ได้รับเลือกจากเจ้าของกระทู้
ความคิดเห็นที่ 1
เอาแบบคร่าวๆนะครับ มาลองพิจารณาระบบจำนวนจริงกันก่อน
ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงใดๆ 3 ตัว และ operator 2 ตัวเรียกว่า + กับ x (คือการบวกการคูณธรรมดา) จะได้ว่าสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง
1.) a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
2.) มีจำนวนตัวหนึ่งเรียกว่า 0 ที่ทำให้ a + 0 = 0 + a = a ทุกๆ a
3.) สำหรับ a ใดๆ จะมีจำนวนตัวหนึ่งเรียกว่า (-a) ซึ่งมีสมบัติว่า a + (-a) = (-a) + a = 0
4.) a + b = b + a
5.) a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
6.) มีจำนวนตัวหนึ่งเรียกว่า 1 ที่ทำให้ a x 1 = 1 x a = a ทุกๆ a
7.) สำหรับ a ใดๆที่ไม่ใช่ 0 จะมีจำนวนตัวหนึ่งเรียกว่า (a-1) ซึ่งมีสมบัติว่า a x (a-1) = (a-1) x a = 1
8.) a x b = b x a
group จะเป็นระบบใดๆที่มีสมบัติข้อ 1. ถึง 3. (ถ้าถึง 4. เรียก abelian group หรือ commutative group)
ring มีสมบัติข้อ 1. ถึง 5. (ถ้าถึง 6. เรียก ring with unit) (ถ้ามีข้อ 8. ด้วยเรียก commutative ring)
field มีสมบัติข้อ 1. ถึง 8. (ถ้าถึงแค่ข้อ 7. เรียก skew field)
ปล. คำว่ามีสมบัติเหมือนนี่คือไม่ใช่ว่าต้องเป็นบวกกับคูณเหมือนกันนะครับ เป็น operator อะไรก็ได้ที่เป็นตามสมบัติข้อข้างบน
เช่น set ของ matrix ขนาด 2x2 ที่มี determinant ไม่เท่ากับ 0 เป็น group โดยที่ operator * คือการคูณ matrix มีสมบัติเหมือน + ในข้อ 1. ถึง 3.
ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงใดๆ 3 ตัว และ operator 2 ตัวเรียกว่า + กับ x (คือการบวกการคูณธรรมดา) จะได้ว่าสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง
1.) a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
2.) มีจำนวนตัวหนึ่งเรียกว่า 0 ที่ทำให้ a + 0 = 0 + a = a ทุกๆ a
3.) สำหรับ a ใดๆ จะมีจำนวนตัวหนึ่งเรียกว่า (-a) ซึ่งมีสมบัติว่า a + (-a) = (-a) + a = 0
4.) a + b = b + a
5.) a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
6.) มีจำนวนตัวหนึ่งเรียกว่า 1 ที่ทำให้ a x 1 = 1 x a = a ทุกๆ a
7.) สำหรับ a ใดๆที่ไม่ใช่ 0 จะมีจำนวนตัวหนึ่งเรียกว่า (a-1) ซึ่งมีสมบัติว่า a x (a-1) = (a-1) x a = 1
8.) a x b = b x a
group จะเป็นระบบใดๆที่มีสมบัติข้อ 1. ถึง 3. (ถ้าถึง 4. เรียก abelian group หรือ commutative group)
ring มีสมบัติข้อ 1. ถึง 5. (ถ้าถึง 6. เรียก ring with unit) (ถ้ามีข้อ 8. ด้วยเรียก commutative ring)
field มีสมบัติข้อ 1. ถึง 8. (ถ้าถึงแค่ข้อ 7. เรียก skew field)
ปล. คำว่ามีสมบัติเหมือนนี่คือไม่ใช่ว่าต้องเป็นบวกกับคูณเหมือนกันนะครับ เป็น operator อะไรก็ได้ที่เป็นตามสมบัติข้อข้างบน
เช่น set ของ matrix ขนาด 2x2 ที่มี determinant ไม่เท่ากับ 0 เป็น group โดยที่ operator * คือการคูณ matrix มีสมบัติเหมือน + ในข้อ 1. ถึง 3.
แสดงความคิดเห็น
// เรื่องเลข ๆ // ใครก็ด้าย ขยายความเรื่อง group ring และ field ให้ที ?
Everyone is familiar with the basic operations of arithmetic, addition, subtraction, multiplication, and division. In the "new math" introduced during the 1960s in the junior high grades of 7 through 9, students were exposed to some mathematical ideas which formerly were not part of the regular school curriculum. Elementary set theory was one of them. Another was abstract algebra, in which it was illustrated that operations resembling addition and multiplication could exist that had some of their properties.
http://www.quadibloc.com/math/abaint.htm
อ่านแล้วก็งง จริงๆ คืออยากรู้เรื่อง matrix field
แต่ตายหยังเขียด ตั้งแต่ group, ring กะ field แล้วจ้า