เวลาเห็นว่าเมืองสองเมืองอยู่ห่างกันหลายพันกิโลเมตร เราอาจลองเอาระยะทางหารด้วยความเร็วเครื่องบิน แล้วดูว่าต้องบินกี่ชั่วโมง วิธีนี้ใช้ได้ แต่มีรายละเอียดที่ทำให้คำตอบต่างจากเวลาบินจริงอยู่พอสมควร โดยเฉพาะเรื่องลม เส้นทางบิน และความหมายของคำว่า “ความเร็ว”
เริ่มจากสูตรที่คุ้นเคยกันก่อน
เวลา = ระยะทาง / ความเร็ว
หรือเขียนสั้น ๆ ว่า
t = d / v
ถ้าใช้ระยะทางเป็นกิโลเมตร และความเร็วเป็นกิโลเมตรต่อชั่วโมง เวลาที่ได้ก็จะเป็นชั่วโมง
สมมติว่าเส้นทางบินยาว 6,000 กิโลเมตร และเครื่องบินเคลื่อนที่เทียบกับพื้นโลกด้วยความเร็วคงที่ 900 กิโลเมตรต่อชั่วโมง เราจะได้
t = 6,000 / 900
t = 6.666... ชั่วโมง
เท่ากับ 6 ชั่วโมง 40 นาที
เศษของชั่วโมงต้องคูณด้วย 60 เพื่อเปลี่ยนเป็นนาที เช่น 0.5 ชั่วโมงเท่ากับ 30 นาที ไม่ใช่ 50 นาที
คำถามต่อมาคือ ความเร็ว 900 กิโลเมตรต่อชั่วโมงที่เราใช้ เป็นความเร็วเทียบกับอะไร?
เครื่องบินเคลื่อนที่ผ่านอากาศ แต่อากาศเองก็เคลื่อนที่เทียบกับพื้นโลกด้วย เราจึงต้องแยกระหว่างความเร็วจริงเทียบกับอากาศ หรือ true airspeed กับความเร็วเทียบกับพื้นโลก หรือ groundspeed
สำหรับการคำนวณเวลาถึงปลายทาง เราต้องใช้ groundspeed เพราะปลายทางของเราอยู่บนพื้นโลก
ความสัมพันธ์ของความเร็วทั้งสามเขียนได้ว่า
เวกเตอร์ความเร็วเทียบกับพื้นโลก = เวกเตอร์ความเร็วจริงเทียบกับอากาศ + เวกเตอร์ความเร็วลม
คำว่าเวกเตอร์หมายถึงปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง จึงไม่ใช่การเอาตัวเลขมาบวกกันอย่างเดียว แต่ถ้าลมพัดตรงตามหรือสวนแนวบิน เราจะคำนวณด้วยการบวกและลบได้ง่าย ๆ
ลองใช้เส้นทางเดิม 6,000 กิโลเมตร โดยให้เครื่องบินรักษาความเร็วจริงเทียบกับอากาศไว้ที่ 900 กิโลเมตรต่อชั่วโมง และสมมติว่าความเร็วลมคงที่ตลอดทาง
ถ้ามีลมส่งท้ายตรงแนวบิน 100 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ความเร็วเทียบกับพื้นโลกจะเป็น
900 + 100 = 1,000 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
เวลาที่ใช้จึงเป็น
t = 6,000 / 1,000
t = 6 ชั่วโมง
แต่ถ้าลมพัดสวนตรงแนวบินด้วยความเร็วเท่ากัน ความเร็วเทียบกับพื้นโลกจะเหลือ
900 - 100 = 800 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
เวลาที่ใช้จะกลายเป็น
t = 6,000 / 800
t = 7.5 ชั่วโมง
เท่ากับ 7 ชั่วโมง 30 นาที
ทั้งสองกรณีเครื่องบินบินผ่านอากาศด้วยความเร็วเท่ากัน แต่ถึงปลายทางต่างกันหนึ่งชั่วโมงครึ่ง นี่เป็นเหตุผลสำคัญอย่างหนึ่งที่เที่ยวบินระหว่างสนามบินคู่เดิมใช้เวลาขาไปกับขากลับไม่เท่ากัน
ส่วนลมที่พัดเฉียง ต้องคิดทิศทางร่วมด้วย นักบินต้องปรับทิศหัวเครื่องบินเพื่อรักษาแนวทางบินที่ต้องการ จึงนำความเร็วลมมาบวกหรือลบตรง ๆ แบบตัวอย่างนี้ไม่ได้
ตัวอย่างนี้ยังมีประเด็นทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจ ถ้าขาไปได้ลมส่งท้าย และขากลับเจอลมสวนขนาดเท่ากัน เวลาที่ได้กับเวลาที่เสียจะชดเชยกันพอดีหรือเปล่า?
ถ้าไม่มีลม แต่ละขาใช้เวลา 6 ชั่วโมง 40 นาที รวมไปกลับเป็น 13 ชั่วโมง 20 นาที
แต่ถ้ามีลมตามตัวอย่าง ขาหนึ่งใช้ 6 ชั่วโมง อีกขาใช้ 7 ชั่วโมง 30 นาที รวมเป็น 13 ชั่วโมง 30 นาที มากขึ้น 10 นาที
ที่เป็นอย่างนี้เพราะเวลาแปรผกผันกับความเร็ว การลดความเร็วจาก 900 เหลือ 800 ทำให้เสียเวลามากกว่าที่ประหยัดได้จากการเพิ่มความเร็วจาก 900 เป็น 1,000 แม้จะลดและเพิ่มเท่ากันก็ตาม
ทีนี้กลับมาที่ระยะทาง เราจะรู้ได้อย่างไรว่าสนามบินสองแห่งห่างกันเท่าไร?
ถ้ามีพิกัดละติจูดและลองจิจูด เราสามารถประมาณระยะทางที่สั้นที่สุดตามผิวโลกได้ด้วยสูตร Haversine โดยถือว่าโลกเป็นทรงกลม
กำหนดให้
lat1 และ lon1 คือพิกัดละติจูดและลองจิจูดของต้นทาง
lat2 และ lon2 คือพิกัดละติจูดและลองจิจูดของปลายทาง
ก่อนแทนค่า ต้องแปลงมุมจากองศาเป็นเรเดียน
มุมเรเดียน = มุมองศา * pi / 180
โดย pi มีค่าประมาณ 3.14159 จากนั้นหาผลต่างของพิกัดที่แปลงแล้ว
dLat = lat2 - lat1
dLon = lon2 - lon1
แล้วคำนวณจาก
a = sin(dLat / 2)^2 + cos(lat1) * cos(lat2) * sin(dLon / 2)^2
d = 2 * R * asin(sqrt(a))
ในที่นี้ R คือรัศมีเฉลี่ยของโลก ประมาณ 6,371 กิโลเมตร ระยะทาง d ที่ได้จึงมีหน่วยเป็นกิโลเมตร
สำหรับสัญลักษณ์ในสูตร เครื่องหมาย * คือการคูณ ^2 คือยกกำลังสอง sqrt() คือรากที่สอง และ asin() คือฟังก์ชันผกผันของ sine โดยผลลัพธ์ของ asin() ต้องใช้หน่วยเรเดียน
ระยะที่คำนวณได้เรียกว่า great-circle distance หรือระยะตามแนววงกลมใหญ่ เป็นระยะที่สั้นที่สุดระหว่างสองจุดบนผิวทรงกลม ใช้เป็นระยะอ้างอิงระหว่างสนามบินได้ แต่ยังไม่รวมความสูงและเส้นทางบินจริง หากต้องการความแม่นยำมากขึ้น ก็ใช้แบบจำลองโลกทรงรีแทน
เที่ยวบินจริงอาจต้องอ้อมหลบสภาพอากาศ บินตามเส้นทางจราจรทางอากาศ หรือหลีกเลี่ยงน่านฟ้าบางพื้นที่ ระยะที่นำมาคำนวณเวลาจึงควรเป็นระยะตามเส้นทางที่จะบินจริง
และถึงจะรู้เส้นทางแล้ว เครื่องบินก็ไม่ได้ใช้ความเร็วเดียวตลอดการเดินทาง ช่วงไต่ระดับ บินระดับ และลดระดับมีความเร็วต่างกัน ลมแต่ละช่วงก็อาจต่างกันด้วย วิธีประมาณให้ละเอียดขึ้นคือแบ่งเส้นทางออกเป็นช่วง แล้วนำเวลามารวมกัน
เวลารวม = (ระยะทางช่วงแรก / ความเร็วช่วงแรก) + (ระยะทางช่วงกลาง / ความเร็วช่วงกลาง) + (ระยะทางช่วงสุดท้าย / ความเร็วช่วงสุดท้าย)
ลองใช้ตัวเลขสมมติ โดยให้ความเร็วเทียบกับพื้นโลกคงที่ภายในแต่ละช่วง
ช่วงแรก 300 กิโลเมตร ความเร็ว 600 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
ช่วงกลาง 5,400 กิโลเมตร ความเร็ว 900 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
ช่วงสุดท้าย 300 กิโลเมตร ความเร็ว 600 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
จะได้
เวลารวม = (300 / 600) + (5,400 / 900) + (300 / 600)
เวลารวม = 0.5 + 6 + 0.5
เวลารวม = 7 ชั่วโมง
ระยะทางรวมยังเป็น 6,000 กิโลเมตร แต่ใช้เวลามากกว่า 6 ชั่วโมง 40 นาทีที่คำนวณในตอนแรก เพราะคราวนี้เราไม่ได้สมมติว่าบินด้วยความเร็ว 900 ตลอดทาง
อีกจุดที่มักทำให้คำนวณผิดคือความเร็วเฉลี่ย เราไม่สามารถเอา 600, 900 และ 600 มาบวกแล้วหารสามได้ เพราะเครื่องบินใช้เวลาในแต่ละช่วงไม่เท่ากัน ความเร็วเฉลี่ยของการเดินทางต้องหาแบบนี้
ความเร็วเฉลี่ย = ระยะทางรวม / เวลารวม
ความเร็วเฉลี่ย = 6,000 / 7
ความเร็วเฉลี่ยประมาณ 857.14 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
สุดท้าย เวลาที่คำนวณจากการเคลื่อนที่ในอากาศยังไม่ใช่เวลาเดียวกับที่เห็นในตารางบิน ตารางบินโดยทั่วไปนับตั้งแต่ออกจากจุดจอดต้นทางจนถึงจุดจอดปลายทาง จึงรวมเวลาขับเคลื่อนบนพื้น และอาจมีเวลาเผื่อในการจัดตารางด้วย
ถ้าดูเวลาออกและเวลาถึงบนตั๋วระหว่างประเทศ ก็ต้องปรับให้เป็นเขตเวลาเดียวกันก่อนนำมาลบกัน พร้อมดูวันที่ประกอบ โดยเฉพาะเที่ยวบินข้ามคืนหรือข้ามเส้นแบ่งวันสากล
เวลาเห็นเที่ยวบินขาไปกับขากลับต่างกัน จึงต้องดูมากกว่าระยะระหว่างสองเมือง ทั้งลม เส้นทาง และเวลาบนพื้นล้วนมีส่วน ส่วนสูตรระยะทางหารความเร็วยังใช้ได้เหมือนเดิม เพียงแต่ข้อมูลที่ใส่ลงไปต้องตรงกับการเดินทางที่เรากำลังคำนวณ
เวลาบินคำนวณจากอะไร ทำไมบินไปกับบินกลับถึงใช้เวลาไม่เท่ากัน?
เริ่มจากสูตรที่คุ้นเคยกันก่อน
เวลา = ระยะทาง / ความเร็ว
หรือเขียนสั้น ๆ ว่า
t = d / v
ถ้าใช้ระยะทางเป็นกิโลเมตร และความเร็วเป็นกิโลเมตรต่อชั่วโมง เวลาที่ได้ก็จะเป็นชั่วโมง
สมมติว่าเส้นทางบินยาว 6,000 กิโลเมตร และเครื่องบินเคลื่อนที่เทียบกับพื้นโลกด้วยความเร็วคงที่ 900 กิโลเมตรต่อชั่วโมง เราจะได้
t = 6,000 / 900
t = 6.666... ชั่วโมง
เท่ากับ 6 ชั่วโมง 40 นาที
เศษของชั่วโมงต้องคูณด้วย 60 เพื่อเปลี่ยนเป็นนาที เช่น 0.5 ชั่วโมงเท่ากับ 30 นาที ไม่ใช่ 50 นาที
คำถามต่อมาคือ ความเร็ว 900 กิโลเมตรต่อชั่วโมงที่เราใช้ เป็นความเร็วเทียบกับอะไร?
เครื่องบินเคลื่อนที่ผ่านอากาศ แต่อากาศเองก็เคลื่อนที่เทียบกับพื้นโลกด้วย เราจึงต้องแยกระหว่างความเร็วจริงเทียบกับอากาศ หรือ true airspeed กับความเร็วเทียบกับพื้นโลก หรือ groundspeed
สำหรับการคำนวณเวลาถึงปลายทาง เราต้องใช้ groundspeed เพราะปลายทางของเราอยู่บนพื้นโลก
ความสัมพันธ์ของความเร็วทั้งสามเขียนได้ว่า
เวกเตอร์ความเร็วเทียบกับพื้นโลก = เวกเตอร์ความเร็วจริงเทียบกับอากาศ + เวกเตอร์ความเร็วลม
คำว่าเวกเตอร์หมายถึงปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง จึงไม่ใช่การเอาตัวเลขมาบวกกันอย่างเดียว แต่ถ้าลมพัดตรงตามหรือสวนแนวบิน เราจะคำนวณด้วยการบวกและลบได้ง่าย ๆ
ลองใช้เส้นทางเดิม 6,000 กิโลเมตร โดยให้เครื่องบินรักษาความเร็วจริงเทียบกับอากาศไว้ที่ 900 กิโลเมตรต่อชั่วโมง และสมมติว่าความเร็วลมคงที่ตลอดทาง
ถ้ามีลมส่งท้ายตรงแนวบิน 100 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ความเร็วเทียบกับพื้นโลกจะเป็น
900 + 100 = 1,000 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
เวลาที่ใช้จึงเป็น
t = 6,000 / 1,000
t = 6 ชั่วโมง
แต่ถ้าลมพัดสวนตรงแนวบินด้วยความเร็วเท่ากัน ความเร็วเทียบกับพื้นโลกจะเหลือ
900 - 100 = 800 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
เวลาที่ใช้จะกลายเป็น
t = 6,000 / 800
t = 7.5 ชั่วโมง
เท่ากับ 7 ชั่วโมง 30 นาที
ทั้งสองกรณีเครื่องบินบินผ่านอากาศด้วยความเร็วเท่ากัน แต่ถึงปลายทางต่างกันหนึ่งชั่วโมงครึ่ง นี่เป็นเหตุผลสำคัญอย่างหนึ่งที่เที่ยวบินระหว่างสนามบินคู่เดิมใช้เวลาขาไปกับขากลับไม่เท่ากัน
ส่วนลมที่พัดเฉียง ต้องคิดทิศทางร่วมด้วย นักบินต้องปรับทิศหัวเครื่องบินเพื่อรักษาแนวทางบินที่ต้องการ จึงนำความเร็วลมมาบวกหรือลบตรง ๆ แบบตัวอย่างนี้ไม่ได้
ตัวอย่างนี้ยังมีประเด็นทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจ ถ้าขาไปได้ลมส่งท้าย และขากลับเจอลมสวนขนาดเท่ากัน เวลาที่ได้กับเวลาที่เสียจะชดเชยกันพอดีหรือเปล่า?
ถ้าไม่มีลม แต่ละขาใช้เวลา 6 ชั่วโมง 40 นาที รวมไปกลับเป็น 13 ชั่วโมง 20 นาที
แต่ถ้ามีลมตามตัวอย่าง ขาหนึ่งใช้ 6 ชั่วโมง อีกขาใช้ 7 ชั่วโมง 30 นาที รวมเป็น 13 ชั่วโมง 30 นาที มากขึ้น 10 นาที
ที่เป็นอย่างนี้เพราะเวลาแปรผกผันกับความเร็ว การลดความเร็วจาก 900 เหลือ 800 ทำให้เสียเวลามากกว่าที่ประหยัดได้จากการเพิ่มความเร็วจาก 900 เป็น 1,000 แม้จะลดและเพิ่มเท่ากันก็ตาม
ทีนี้กลับมาที่ระยะทาง เราจะรู้ได้อย่างไรว่าสนามบินสองแห่งห่างกันเท่าไร?
ถ้ามีพิกัดละติจูดและลองจิจูด เราสามารถประมาณระยะทางที่สั้นที่สุดตามผิวโลกได้ด้วยสูตร Haversine โดยถือว่าโลกเป็นทรงกลม
กำหนดให้
lat1 และ lon1 คือพิกัดละติจูดและลองจิจูดของต้นทาง
lat2 และ lon2 คือพิกัดละติจูดและลองจิจูดของปลายทาง
ก่อนแทนค่า ต้องแปลงมุมจากองศาเป็นเรเดียน
มุมเรเดียน = มุมองศา * pi / 180
โดย pi มีค่าประมาณ 3.14159 จากนั้นหาผลต่างของพิกัดที่แปลงแล้ว
dLat = lat2 - lat1
dLon = lon2 - lon1
แล้วคำนวณจาก
a = sin(dLat / 2)^2 + cos(lat1) * cos(lat2) * sin(dLon / 2)^2
d = 2 * R * asin(sqrt(a))
ในที่นี้ R คือรัศมีเฉลี่ยของโลก ประมาณ 6,371 กิโลเมตร ระยะทาง d ที่ได้จึงมีหน่วยเป็นกิโลเมตร
สำหรับสัญลักษณ์ในสูตร เครื่องหมาย * คือการคูณ ^2 คือยกกำลังสอง sqrt() คือรากที่สอง และ asin() คือฟังก์ชันผกผันของ sine โดยผลลัพธ์ของ asin() ต้องใช้หน่วยเรเดียน
ระยะที่คำนวณได้เรียกว่า great-circle distance หรือระยะตามแนววงกลมใหญ่ เป็นระยะที่สั้นที่สุดระหว่างสองจุดบนผิวทรงกลม ใช้เป็นระยะอ้างอิงระหว่างสนามบินได้ แต่ยังไม่รวมความสูงและเส้นทางบินจริง หากต้องการความแม่นยำมากขึ้น ก็ใช้แบบจำลองโลกทรงรีแทน
เที่ยวบินจริงอาจต้องอ้อมหลบสภาพอากาศ บินตามเส้นทางจราจรทางอากาศ หรือหลีกเลี่ยงน่านฟ้าบางพื้นที่ ระยะที่นำมาคำนวณเวลาจึงควรเป็นระยะตามเส้นทางที่จะบินจริง
และถึงจะรู้เส้นทางแล้ว เครื่องบินก็ไม่ได้ใช้ความเร็วเดียวตลอดการเดินทาง ช่วงไต่ระดับ บินระดับ และลดระดับมีความเร็วต่างกัน ลมแต่ละช่วงก็อาจต่างกันด้วย วิธีประมาณให้ละเอียดขึ้นคือแบ่งเส้นทางออกเป็นช่วง แล้วนำเวลามารวมกัน
เวลารวม = (ระยะทางช่วงแรก / ความเร็วช่วงแรก) + (ระยะทางช่วงกลาง / ความเร็วช่วงกลาง) + (ระยะทางช่วงสุดท้าย / ความเร็วช่วงสุดท้าย)
ลองใช้ตัวเลขสมมติ โดยให้ความเร็วเทียบกับพื้นโลกคงที่ภายในแต่ละช่วง
ช่วงแรก 300 กิโลเมตร ความเร็ว 600 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
ช่วงกลาง 5,400 กิโลเมตร ความเร็ว 900 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
ช่วงสุดท้าย 300 กิโลเมตร ความเร็ว 600 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
จะได้
เวลารวม = (300 / 600) + (5,400 / 900) + (300 / 600)
เวลารวม = 0.5 + 6 + 0.5
เวลารวม = 7 ชั่วโมง
ระยะทางรวมยังเป็น 6,000 กิโลเมตร แต่ใช้เวลามากกว่า 6 ชั่วโมง 40 นาทีที่คำนวณในตอนแรก เพราะคราวนี้เราไม่ได้สมมติว่าบินด้วยความเร็ว 900 ตลอดทาง
อีกจุดที่มักทำให้คำนวณผิดคือความเร็วเฉลี่ย เราไม่สามารถเอา 600, 900 และ 600 มาบวกแล้วหารสามได้ เพราะเครื่องบินใช้เวลาในแต่ละช่วงไม่เท่ากัน ความเร็วเฉลี่ยของการเดินทางต้องหาแบบนี้
ความเร็วเฉลี่ย = ระยะทางรวม / เวลารวม
ความเร็วเฉลี่ย = 6,000 / 7
ความเร็วเฉลี่ยประมาณ 857.14 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
สุดท้าย เวลาที่คำนวณจากการเคลื่อนที่ในอากาศยังไม่ใช่เวลาเดียวกับที่เห็นในตารางบิน ตารางบินโดยทั่วไปนับตั้งแต่ออกจากจุดจอดต้นทางจนถึงจุดจอดปลายทาง จึงรวมเวลาขับเคลื่อนบนพื้น และอาจมีเวลาเผื่อในการจัดตารางด้วย
ถ้าดูเวลาออกและเวลาถึงบนตั๋วระหว่างประเทศ ก็ต้องปรับให้เป็นเขตเวลาเดียวกันก่อนนำมาลบกัน พร้อมดูวันที่ประกอบ โดยเฉพาะเที่ยวบินข้ามคืนหรือข้ามเส้นแบ่งวันสากล
เวลาเห็นเที่ยวบินขาไปกับขากลับต่างกัน จึงต้องดูมากกว่าระยะระหว่างสองเมือง ทั้งลม เส้นทาง และเวลาบนพื้นล้วนมีส่วน ส่วนสูตรระยะทางหารความเร็วยังใช้ได้เหมือนเดิม เพียงแต่ข้อมูลที่ใส่ลงไปต้องตรงกับการเดินทางที่เรากำลังคำนวณ