โจทย์คณิตศาสตร์เรียบง่าย ที่แสดงให้เห็นถึงความสำคัญของความเข้าใจในพื้นฐานการคิดแบบคณิตศาสตร์

กระทู้สนทนา

โจทย์เลขที่ชวนงง แต่ถ้าคิดอย่างมีสติ และใช้แนวคิดทางคณิตศาสตร์อย่างถูกต้อง ก็จะทำความเข้าใจได้ไม่ยาก
เป็นโจทย์ที่หลายท่านก็เคยเจอมาแล้ว และบางข้อสำหรับบางท่าน ก็อาจเคยพบเจอมามากกว่าหนึ่งครั้งด้วยครับ

ผมได้รวบรวมมาเท่าที่นึกออก ดังต่อไปนี้ครับ

1. เงินหายไปไหน?

เด็กสามคนสมมติชื่อ ก ข ค ฝากเงินให้เพื่อนชื่อ ง ช่วยไปซื้อขนมให้หน่อย ขนมราคา 10 บาท ก ข ค ฝากเงินให้คนละ 10 บาท ดังนั้น ง จึงรับเงินมา 30 บาท
พอไปถึงร้าน และทำการซื้อขนมแล้ว คนขายบอกว่า วันนี้มาซื้อทีเดียวสามชิ้น จะลดให้ 5 ละกัน จึงทอนเงินมาให้ 5 บาท
ง เอาขนมมาแจกจ่ายให้ ก ข ค โดยที่ ง ก็คิดว่า ถ้าคืนเงินให้ 5 บาท สำหรับคน 3 คน มันไม่ลงตัว งั้นเอางี้ดีกว่า คืนให้คนละบาท แล้วตัวเองเก็บไว้สองบาทถือว่าเป็นค่าเหนื่อยก็แล้วกัน

สรุปว่า ก ข ค จ่ายเงินคนละ 9 บาท รวมเป็น 27 บาท เมื่อรวมกับเงินที่ ง เอาไปเป็น "ค่าเหนื่อย" อีก 2 บาท ก็เป็น 29 บาท แล้วเงินหายไปไหน 1 บาทล่ะ เมื่อเทียบกับเงิน 30 บาทในตอนแรกสุด

เฉลยในสปอยล์
[Spoil] คลิกเพื่อดูข้อความที่ซ่อนไว้
ข้อ 2 ขายของให้เพื่อน (ขายของแทนเพื่อน)
ก กับ ข เป็นแม่ค้าขายมะนาวในตลาดเดียวกัน ไม่ต้องห่วงไปว่าจะมีดรามา เพราะนี่เป็นโจทย์คณิตศาสตร์
ก ขายมะนาวในราคา สามลูกบาท ส่วน ข ขายในราคา สองลูกบาท เอาเป็นว่า ทั้งสองคนเป็นพื่อนที่ดี และต่างก็ขายมะนาวหมดทุกวัน และห้ามถามคนตั้งโจทย์ว่านี่ยุคไหน ทำไมมะนาวถูกจังด้วย

ทีนี้ อยู่มาวันหนึ่ง ข เกิดต้องไปธุระกระทันหันตั้งแต่เช้า เลยมาเปิดร้าน แล้วฝาก ก ให้ขายมะนาวให้หน่อย บอกว่า ขายราคาเดิมนั่นแหละ แล้วก็ไป
วันนั้น ก กับ ข เตรียมมะนาวมาขาย คนละ 30 ลูกเท่ากันพอดี ก คิดว่า ถ้าให้ขายสองราคา คือ มะนาวของตัวเองขายสามลูกบาท ของ ข ขายสองลูกบาท มันก็จะยุ่งยาก ก็เลยคิดง่าย ๆ ว่า งั้น ขาย ห้าลูกสองบาทละกัน (ฟังดูดีเนอะ)
และ ก ขายหมด
วันนั้น ก จึงได้เงินมา 24 บาท (มะนาว 60 ลูก ขายในราคาห้าลูกสองบาท)
ก จึงเก็บเงินส่วนของตัวเองไว้ 10 บาท (มะนาว 30 ลูกในราคาสามลูกบาท)
และ เมื่อ ข กลับมา ก็เอาเงินให้ ข 14 บาท ข ก็โวยทันทีว่า เดี๋ยว ๆ ฉันต้องได้ 15 บาทสิ

เกิดอะไรขึ้น เงินหายไปไหน 1 บาทอีกแล้ว ลองวิเคราะห์กันดูก่อนอ่านเฉลยในสปอยล์นะครับ
[Spoil] คลิกเพื่อดูข้อความที่ซ่อนไว้ข้อนี้วิเคราะห์ได้หลายแนวทาง
แต่อันดับแรก ก ทำผิดตรงที่ว่า ถ้ามะนาวของ ก ขายสามลูกบาท 30 ลูกจะขายได้ทั้งหมด 10 ชุด ได้เงินมา 10 บาท
มะนาวของ ข ขายสองลูกบาท 30 ลูก ต้องขายเป็น 15 ชุด แล้วจึงได้เงิน 15 บาท
เห็นจำนวนชุดที่ไม่เท่ากันไหม? นั่นคือ ความผิดพลาดของ ก และคือสาเหตุที่เงินหายไป 1 บาท
เพราะพอขายด้วยกัน ชุดละ 5 ลูกในราคา 2 บาท พอขายถึงชุดที่ 10 มะนาวของ ก จะหมดแล้ว ขณะที่มะนาวของ ข เหลืออีก 10 ลูก
แต่ ก ขาย 10 ลูกสุดท้าย ด้วยราคา 5 ลูก 2 บาท กล่าวคือ มี 4 ลูกที่ขายในราคา 2 บาท ส่วนอีก 6 ลูกขายในราคา 2 บาท ทั้งที่ต้องขายทั้ง 10 ลูกในราคาแบบที่ ข ตั้งคือ 10 ลูกนี้ ต้องขายได้ 5 บาท ไม่ใช่ 4 บาท

วิธีแก้ มีหลายวิธี ผมเสนอไว้สองวิธีดังนี้
1. จัดชุด ชุดละ 6 ลูก มาจากมะนาวของ ก 3 ลูก ของ ข 3 ลูก ซึ่งต้องขายในราคา สามลูกของ ก ราคา 1 บาท ส่วนสามลูกของ ข ราคา 1.50 บาท
กล่าวคือ ต้องขายทีละ 6 ลูก 2.50 บาท ขายครบ 60 ลูก (เท่ากับ 10 ชุด) ก็ได้เงิน 25 บาท แบ่งกันลงตัวทั้ง ก ข วิธีนี้ คือ จัดชุดให้ขายมะนาวของทั้งสองคนหมดพร้อมกัน
2. คิดราคาเฉลี่ย มะนาว ก ราคาลูกละ 1/3 บาท มะนาว ข ราคาลูกละ 1/2 บาท ดังนั้น ถ้าจะขายร่วมกันและจำนวนเท่ากัน ให้ขายด้วยราคาเฉลี่ย
(1/2 + 1/3) /2 = 5/12
ต้องขายมะนาวด้วยราคาเฉลี่ย ลูกละ 5/12 บาท หรือ 12 ลูก 5 บาท ซึ่งคำตอบตรงกับวิธีแรก
3. จากนิทานอีสปเรื่องกระต่ายกับเต่า ที่จริงแล้วหากกระต่ายต่อให้เต่านำไปก่อน กระต่ายจะไม่มีทางไล่ทันเต่าได้เลย
ปัญหานี้เป็นปัญหาที่นักปรัชญากรีกโบราณ เคยนำมาถกกันครับ

เรื่องมีอยู่ เต่ากับกระต่ายแข่งวิ่งกัน โดยที่กระต่ายให้เต่านำไปก่อนเป็นระยะทาง 90 เมตร และสมมติว่า กระต่ายวิ่งด้วยความเร็ว 10 เมตรต่อวินาที ในขณะที่เต่าวิ่ง (คลาน?) ด้วยความเร็ว 1 เมตรต่อวินาที (จริง ๆ ถ้าได้ความเร็วเท่านี้ ก็ไม่เรียกว่าคลานแล้วล่ะนะ)

ทันทีที่เริ่มแข่ง เต่านำอยู่ 90 เมตร
ดังนั้น หากเวลาผ่านไป 9 วินาที กระต่ายจะวิ่งได้ 90 เมตร แต่ในเวลาเดียวกัน เต่าก็จะนำไปอีก 9 เมตร ดังนั้นกระต่ายยังไล่ไม่ทันในตอนนี้
เวลาผ่านไปอีก 0.9 วินาที กระต่ายวิ่งได้อีก 9 เมตร เท่ากับระยะห่างตะกี้ แต่ก็ยังไล่ไม่ทันเต่า เพราะเต่าก็นำไปอีก 0.9 เมตร
เวลาผ่านไปอีก 0.09 วินาที กระต่ายวิ่งได้อีก 0.9 เมตร แต่เต่าก็นำไปอีก 0.09 เมตร
ผ่านไปอีก 0.009 วินาที เต่าก็จะยังคงนำอยู่ 0.009 เมตร
ผ่านไปอีก 0.0009 วินาที เต่าก็ยังคงนำอยู่ 0.0009 เมตรอยู่ดี
...
หากคิดแบบนี้ จะเห็นว่า ต่อให้เวลาผ่านไปเท่าไร กระต่ายก็ยังคงไม่สามารถไล่เต่าได้ทัน เพราะพอไล่ไปถึงตำแหน่งก่อนหน้า เต่าก็จะนำไปอีก ไปเรื่อย ๆ....

รู้สึกแปลก ๆ ใช่ไหมครับ การคิดแบบนี้ "ผิด" ตรงไหน (ฟันธงไปเลยว่าผิดนะเนี่ย)
[Spoil] คลิกเพื่อดูข้อความที่ซ่อนไว้ผิดเพราะ หากคิดแบบนี้ จะไม่มีทางไปได้ไกลกว่า เวลา 9+0.9+0.09+0.009+0.0009+... วินาที ซึ่งเป็นผลรวมของอนุกรมอนันต์
และในสมัยต่อมา เมื่อมีการศึกษาเรื่องลิมิต ลำดับ และอนุกรม อย่างลึกซึ้งมากขึ้น
นักคณิตศาสตร์ก็จะพบว่า ผลบวกอนุกรมอนันต์ข้างต้น = 10 นั่นเอง (ในที่นี้ มีหน่วยเป็นวินาที)

หมายความว่า ตราบใดที่เวลายัง "ไม่ถึง" 10 วินาที ก็แปลว่ายังคิดผลบวกอนุกรมดังกล่าวไปได้เรื่อย ๆ (ยังไปไม่ถึงพจน์ที่อนันต์)
นั่นคือ ก่อนเวลา 10 วินาที กระต่ายยังตามหลังเต่าอยู่
แต่ ณ เวลา 10 วินาทีล่ะ เกิดอะไรขึ้น
จากจุดเริ่มต้นที่กระต่ายตามหลังเต่าอยู่ 90 เมตร หากเวลาผ่านไป 10 วินาที กระต่ายวิ่งไปได้ 100 เมตร ในขณะที่เต่าวิ่งไปได้ 10 เมตร
ดังนั้น กระต่ายจะไล่ทันเต่าพอดี ณ เวลา 10 วินาทีนี้ (100 เมตรที่กระต่ายวิ่ง = 90 เมตรที่เป็นระยะห่างตอนเริ่ม + 10 เมตรที่เต่าวิ่งไปได้)

และหลังจากนั้นกระต่ายก็จะแซงไป

ดังนั้น ที่กล่าวว่า กระต่ายไม่มีทางแซงได้ ด้วยวิธีคิดที่กล่าวมาในโจทย์มันเป็นจริงเฉพาะตอนที่เวลายังไม่ถึง 10 วินาทีเท่านั้น
การบวกอนุกรม 9 + 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... มันจะได้ผลบวกเมื่อบวกถึงพจน์ที่อนันต์ เป็นแค่ 10 เท่านั้น
หรือถ้าคิดเป็นเวลา ก็คือ การคิดด้วยวิธีคิดดังกล่าวจะไม่มีทางไปถึง ณ เวลาที่กระต่ายไล่ทันเต่า (คือ 10 วินาที)
แต่ในความเป็นจริง เวลามันไหลไปเรื่อย ๆ
4. ปัญหาแบ่งมรดก
ชาวนาคนหนึ่ง เลี้ยงวัวไว้จำนวนหนึ่ง และเขามีลูกชายสามคน เมื่อเขาเสียชีวิต ลูกชายทั้งสามได้เปิดพินัยกรรม และพบว่า พ่อได้แบ่งสมบัติคือ วัวทั้งหมดให้กับลูกทั้งสามดังนี้ คนโตได้วัวไปครึ่งหนึ่ง คนรองได้ไปหนึ่งในสี่ คนสุดท้องได้ไปหนึ่งในห้า ปรากฏว่า ลูก ๆ ก็ถึงกับปวดหัว ว่าจะแบ่งกันยังไงเนี่ย แค่ของคนโต ก็ต้องมีการหั่นวัวเป็นชิ้นส่วนแล้ว ถึงจะได้ครึ่งหนึ่งตามที่พ่อสั่ง ยังไม่ต้องพูดถึงส่วนของคนรองกับคนสุดท้องเลย... ก็เลยช่วยกันเลี้ยงวัวทั้งฝูงไปเรื่อย ๆ ไม่ได้แบ่ง เพราะแบ่งไม่ลงตัว

แต่แล้ว วันหนึ่ง ก็มีนักคณิตศาสตร์ผ่านมา เขาได้รับฟังปัญหานี้ แล้วก็แก้ปัญหาให้อย่างรวดเร็ว โดยไปยืมวัวจากเพื่อนบ้านมาหนึ่งตัว แล้วบอกว่า สมมติว่า วัวตัวนี้รวมเข้าไปในฝูงแล้ว คราวนี้ ปรากฏว่า แบ่งวัวได้ลงตัว คนโตได้ไปครึ่งหนึ่ง คนรองได้ไปหนึ่งในสี่ และคนสุดท้ายได้ไปอีกหนึ่งในห้า และยังเหลือวัวอีกหนึ่งตัว ก็คืนให้เพื่อนบ้านไปซะเป็นที่เรียบร้อย

คำถามคือ วัวฝูงนี้ มีกี่ตัว?
และคำถามสำหรับปัญหานี้ที่แท้จริงคือ จริง ๆ แล้ว พ่อต้องการให้แบ่งยังไงกันแน่?

คำถามแรก ตอบไม่ยากครับ ถ้าลงมือบวกเลขในกระดาษทดดูจะเห็นหนทางในทันทีเลยครับ แต่คำถามที่สองนี่สิ ต้องคิดวิเคราะห์กันหน่อย
[Spoil] คลิกเพื่อดูข้อความที่ซ่อนไว้

5. ข้อนี้ไม่มีความซับซ้อนอะไรครับ แค่ทดสอบทักษะการคิดเลขในใจของท่านดู
ให้บวกเลขต่อไปนี้เรื่อย ๆ นะครับ กดสปอยล์ดูจะมีตัวเลขออกมาทีละจำนวน ให้บวกไปเรื่อย ๆ บวกในใจเท่านั้น ห้ามทดเลข ห้ามใช้อุปกรณ์ช่วย
เริ่มจาก
1000
[Spoil] คลิกเพื่อดูข้อความที่ซ่อนไว้
6. ความเร็วเฉลี่ย (หมายเหตุ ในที่นี้ใช้คำว่า ความเร็วเฉลี่ย ในความหมายที่เป็นปริมาณสเกลาร์นะครับ ไม่ได้ใช้คำว่า ความเร็ว ในความหมาย เวกเตอร์ และ อัตราเร็ว ในความหมายที่เป็นปริมาณสเกลาร์ แบบที่นิยามในวิชาฟิสิกส์)

นาย อ (ทำไมต้อง อ- ไม่รู้สิ) ขับรถจากเมือง ฉ ไปเมือง ฮ โดยขาไป ใช้ความเร็ว 60 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ขากลับ (ย้อนเส้นทางเดิม = ระยะทางเท่าขาไป) ไม่รีบ เลยขับด้วยความเร็ว 40 กิโลเมตรต่อชั่วโมง

ความเร็วเฉลี่ยในการเดินทางไปกลับครั้งนี้ เป็นเท่าไร บอกก่อนว่า ไม่ใช่ (60+40)/2 กิโลเมตรต่อชั่วโมง นะเออ ถ้าใครคิดไม่ออก ลองสมมติว่าระยะทางระหว่างสองเมืองนี้คือ 120 กิโลเมตร แล้วลองคิดโจทย์นี้ดูก็ได้ครับ คำตอบคือ 48 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกของ 60 กับ 40

แต่ถ้าเปลี่ยนโจทย์เป็นการเดินทางเป็นช่วง ๆ โดยที่แต่ละช่วงใช้เวลาเท่ากัน เช่น นาย อ คนเดิม ขับรถเที่ยวโดยขับไปเรื่อย ๆ ชั่วโมงแรก ใช้ความเร็ว 60 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ชั่วโมงต่อมาใช้ความเร็ว 40 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ถามว่า ความเร็วเฉลี่ยของทั้งสองช่วงเป็นเท่าไร กรณีนี้ใช้ "ค่าเฉลี่ยเลขคณิต" ได้เลย คือ (60 + 40) / 2 = 50 กิโลเมตรต่อชั่วโมง

โจทย์ข้อ 6 ไม่เฉลยนะครับ ท่านใดมีเวลาและความกรุณา ก็ลองเขียนอธิบายเพิ่มเติมกันมาได้ครับ

ก็หวังว่าจะได้ทบทวนความสำคัญ ความน่าสนใจและความ "สนุก" ของคณิตศาสตร์กันนะครับ ขอบคุณที่อ่านกันมาจนถึงบรรทัดนี้ครับ
พาพันขอบคุณ