LIBOR Market Models - ประวัติความเป็นมาและวิธีการ derive LIBOR Forward Model
.
.
https://m.facebook.com/story.php?story_fbid=pfbid026x8b2gewoC99GZfKvaBtprPQUaLMxHsRyaB5Tc8Uw9ELpFBGm5fzuqSQuJeCFse9l&id=310069816082389
LIBOR Market Models - its history and the derivation of LIBOR Forward Model.
20 Jan 2022
“There is nothing either good or bad but thinking makes it so.”, Hamlet, Act 2 Scene 2 - William Shakespeare.
ก่อนที่จะเขียนถึง LIBOR Market Models (LMM) คงต้องเริ่มที่ความเป็นมาของ interest rate models ก่อน ซึ่ง interest rate model ต่างๆนั้นมีพัฒนาการผ่านยุคสมัยมาค่อนข้างยาวนานพอสมควร
ย้อนไปประมาณยุค 80s ถ้าจำไม่ผิด หลังจากโลกเราได้รู้จัก Black-Scholes model มาแล้วปีก่อนหน้านั้น ราวๆยุค 70s
ก่อนที่จะมี interest rate models ยุคนั้น traders, quantitative analyst, และผู้ที่เกี่ยวข้องกับการทำกำไรใน interest rate options ยังไม่รู้ว่า stochastic differential equation (SDE) ซึ่งเป็นสมการตั้งต้นสำหรับการแก้ปัญหา interest rate options นั้นแตกต่างกับสมการที่ใช้ในการแก้ปัญหา Black-Scholes
จนกระทั่งมี quants/mathematicians ยุคแรกๆตั้งข้อสังเกตุว่า อัตราดอกเบี้ยเคลื่อนไหวแตกต่างจาก underlying ประเภทหุ้น ทอง น้ำมัน ฯลฯ คือมันเป็น mean reversion ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่ converge เข้าสู่เส้น long term average นี่คือจุดเริ่มต้นของการแยก SDE สำหรับ interest rate model ออกจาก SDE สำหรับหุ้น ซึ่ง ณ เวลานั้น product ต่างๆของ interest rate option ยังไม่ซับซ้อนเท่าไร (mean-reversion นี้เป็นคุณสมบัติที่จำเป็นสำหรับ short rate model ต่างๆเนื่องจากการที่ต้อง calibrate กับ long-term bonds แต่ไม่จำเป็นสำหรับ LIBOR Market Models เลย เพราะสามารถ calibrate กับ cap และswaption volatilities ได้โดยตรง)
นี่คือจุดกำเนิดของ short rate model ต่างๆ เช่น Black-Derman-Toy model (BDT), Ho and Lee interest rate model, Black-Karinsinski model, Vasicek interest rate model, Cox-Ingersoll-Ross model (CIR), Hull-White model (HW) เป็นต้น ซึ่งโมเดลเหล่านี้ถือกำเนิดขึ้นราวๆยุค 80s เป็นต้นมา (ถ้าจำไม่ผิด) และถือเป็น affine term structure model (โมเดลที่เชื่อมโยง bond prices กับ spot interest rate) เหตุผลที่เรียก short rate model เพราะ SDE ของดอกเบี้ยที่ตั้งสมมติฐานไว้แต่ต้นเป็น instantaneous หมายความว่า SDE นี้ holds true เวลาที่สั้นมากๆ แต่ interest rate option ต่างๆมี maturity ระยะยาวกว่าทั้งนั้น และไม่เป็น instantaneous จึงต้องมีการ calibrate ก่อนใช้งาน โดยแต่ละ short rate model ก็มี parameter ที่ต้อง calibrate หรือ specify เองต่างกันไป เช่น การ calibrate กับ bond อายุ 10 ปี เพื่อหา long term average และ mean reversion rate เป็นต้น
การทำ calibration หรือ การทำ fitting ก่อนใช้งานถือเป็นขั้นตอนสำคัญที่ทำให้ interest rate option แตกต่างจาก equity options, FX options, and etc. กล่าวคือใน equity option เราหา implied vol หรือใช้ vol model ประเภทอื่นๆสำหรับช่วยในการเทรด หรือในการ launch exotic equity option เมื่อได้ implied vol จาก call/put ที่ quote โดยปกติก็สามารถนำ vol ไปใช้เป็น input สำคัญในการคำนวณราคา exotic equity optionได้เลย และมี vol เพียงหนึ่งเดียว ไม่ว่า vol นั้นจะเป็น time-dependent function หรือไม่ก็ตาม แต่ interest rate option นั้นแตกต่าง เนื่องจากมี product มากมายที่ซับซ้อนเกินกว่า vanilla product เช่น swaption เทียบกับ equity option ที่ใช้ Black-Scholes แล้ว ดังนั้นในหนึ่ง product ที่มี exotic feature เน้นๆนั้น เราอาจต้อง calibrate กับทั้ง swaption vol และ cap vol ในเวลาเดียวกัน (joint calibration in LMM) เช่น structured product ที่มี callable feature เราต้อง calibrate กับ swaption vol และมี feature ที่มี payoff นับเป็นช่วงๆของเวลา เช่น ทุก 3เดือน 6เดือน จ่าย rebate x% หาก LIBOR อยู่ใน range ที่กำหนด อันนี้ต้อง calibrate กับ cap vol เป็นต้น ตัวอย่างง่ายๆของ product ประเภทนี้คือ Callable Daily Range Accrual Note (CRAN) ที่สามารถ decompose เป็น long floating rate note + short series ของ daily double knockout digital options + long Bermudan swaption (สำหรับผู้ออก structured product ไว้ cancel note นี้ทิ้งไป ก็คือ callable feature นั่นเอง ซึ่งตัวนี้ปกติเรามองเป็น Callable Range Accrual Swap (CRAS) เป็น swap ที่แยกองค์ประกอบได้เป็น options) และแน่นอนว่าการทำ joint calibration นั้นเราได้ extract เอา term structure ของ correlation ระหว่าง tenor ของดอกเบี้ยออกมาด้วย (correlation matrix) เป็นของแถม
ข้อด้อยสำหรับ short rate model ต่างๆคือ ไม่สามารถ calibrate กับ interest rate option products อย่าง cap, floor, และ swaption ซึ่งเป็น product ที่ liquid และจำเป็นสำหรับการ hedge interest rate option ได้โดยตรง จึงต้องอาศัยการ calibrate กับ bond put options แทน (แต่ก็ equivalent กัน)
และการที่ quants, structurers, traders สามารถ calibrate short rate model กับ bond put option ได้แทนการ calibrate กับ cap, floor, swaption นั้น เริ่มจากสุดยอด financial mathematician อย่าง Jamshidian ซึ่งเป็นผู้ค้นพบความจริงดังกล่าว (Jamshidian's decomposition) แม้การค้นพบดังกล่าวอาจไม่ได้เรียกว่าเป็นงานที่แสดง quant skills มากมายอะไรเลย เป็นเพียงการมองแบบ product decomposition และเทียบเคียง payoff กันเท่านั้น แต่ Jamshidian มีงานสำคัญๆอีกหลายชิ้น และหนึ่งในนั้นคือการสร้าง LIBOR Swap Model (LSM) ในปี 1997 ซึ่งเป็นหนึ่งในสอง LIBOR Market Model (LMM) ซึ่งอีกโมเดลนึงคือ LIBOR Forward Model (LFM)
ข้อด้อยอีกข้อนึงของ short rate models เท่าที่นึกออก คือ Hedging เนื่องจาก short rate ไม่ใช่ rate ที่มีการเทรดในตลาดจริง เป็นสมมติฐานสำหรับ mathematical modelling ตอนตั้งต้น ดังนั้นการ hedge cap, swaptions, หรือ interest rate option ประเภทอื่นๆที่มี underlying เป็น LIBOR บ้าง, swap rate บ้างด้วย short rate models นั้น มันต้องมี mismatch อยู่แล้ว (แม้ว่า rates trader แบงค์ยักษ์ใหญ่ยุโรปยุค 2000 ต้นๆเคยบอกผมว่าเขาใช้ eight-factor model ก็ตาม คาดว่าน่าจะเป็น eight-factor HW ซึ่งยุคนั้นบางแบงค์ก็ใช้ LMM แล้ว และคิดว่าแบงค์ยุโรปนี้ก็มี LMM แล้วด้วย ปกติ short rate model ที่เรา discuss กันในที่นี้เป็น single factor model แต่กรณีที่ต้องการทำให้ process มี dynamic เป็นไปตามต้องการมากขึ้น quant บางคน ก็จะเปลี่ยนเป็น Two-factor model, Three-factor model, and etc.) ดังนั้น rates traders/interest rate option traders ต้อง handle mismatch นี้ระหว่าง trading หรือ hedging เอาเอง อย่างไรก็ตาม rates trader บางคนอาจชอบ short rate models กว่าจากความไม่ perfect ของมันก็ได้ ตัวอย่างเช่น trader's interview ท้ายเล่มของ Brigo and Mercurio (2007), เฉพาะ 2nd Edition นะ ตาม references ด้านล่าง
แต่ก่อนที่จะพูดถึง LMM เราคงต้องเอ่ยถึง Heath-Jarrow-Morton Model (HJM) ก่อน เพราะเป็น step สำคัญสำหรับ interest rate modelling เลยทีเดียว เพราะว่า HJM นั้นเป็น instantaneous forward rate model ไม่ใช่ short rate model
อย่างที่ rates trader ทุกคนคงรู้ดีอยู่แล้วว่า forward rate ต่างๆนั้น คำนวณได้จาก spot yield curve และ swap rate ต่างๆนั้น เท่ากับ ผลหารระหว่าง 1 - floating leg bond และ fixed leg bond (bond ที่จ่ายอัตราดอกเบี้ยลอยตัวและ bond ที่จ่ายดอกเบี้ยคงที่) จะเห็นได้ว่าเราสามารถเขียน forward swap rate จากจุดใดจุดนึงไปสู่อีกจุดนึงตามแกนเวลาได้จากการประกอบกันของ forward rate ( ดูที่ Image 1) ซึ่งหมายความว่า forward swap rate สามารถ decompose เป็น forward rate ได้ แต่ไม่สามารถเริ่มจาก forward swap rate แล้วเขียนให้เป็น forward rate ได้ นี่เป็นคุณสมบัติข้อนึงที่มีส่วนในการตัดสินใจเลือกระหว่าง LSM หรือ LFM ของ quant ในการทำ interest rate modelling
แม้ว่าในเชิง product แล้ว การมี HJM ก็ไม่ได้ช่วยให้ pricing and hedging interest rate options ดีกว่า short rate models เท่าไร เพราะว่า HJM ก็ยังมีลักษณะการแทน process ด้วยหนึ่ง stochastic process ในขณะที่ cap และ floor ที่แยกเป็น series ของ caplets และ floorlets นั้น มี underlying เป็น LIBOR forward rate หรือ forward rate ในสกุลเงินอื่นๆ หลายๆตัว รวมไปถึง swaption ที่มี underlying เป็น LIBOR forward swap หลายๆตัว ดังนั้น governing equation ที่ตอบโจทย์ก็ต้องเป็นระบบสมการของ stochastic process หลายๆ process เป็นต้น
แต่ว่าในเชิงทฤษฎีแล้ว การค้นพบ HJM ในราวๆปี 1987-1992 (นับตั้งแต่ปีที่ยังเป็น working paper ที่ Cornell University จนถึงปีที่ publish) ถือเป็นก้าวสำคัญอย่างนึงในวงการ quant เพราะว่า ในงานของนักคณิตศาสตร์สามท่านคือ Heath, Jarrow, และ Morton นั้นได้แสดง proof บางอย่างซึ่งยืนยันถึง uniqueness and existence อันเป็นภาคบังคับสำหรับการค้นพบทฤษฎีทาง pure mathematics ถ้าปราศจากบทพิสูจน์นี้ เราจะไม่สามารถยืนยันความถูกต้องโดยสมบูรณ์ได้ไม่ว่าจะค้นพบอะไรมาก็ตาม อันนี้เป็นสิ่งที่ applied mathematics ไม่มี ที่สำคัญการแสดง proof ในงานของ HJM นั้นถือว่ายากเลยทีเดียว สามารถนำ HJM ไปศึกษาต่อยอดเป็น PhD thesisได้เลย ยกตัวอย่างเช่น PhD thesis ของ Professor Damir Filipovic นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสเป็นต้น และสำนักพิมพ์ Springer ได้นำ thesis ของท่านบางส่วนในเรื่อง HJMไป publish เป็นหนังสือในชุด Lectures in Mathematics วางจำหน่ายอีกด้วย (หนังสือชื่อ Consistency for Heath-Jarrow-Morton interest rate models) แม้ว่า PhD thesis และ หนังสือของท่านถูกเขียนขึ้นในยุคที่มี LMM แล้วก็ตาม น่าจะเป็นเครื่องยืนยันสำคัญของทฤษฎี HJM ได้อย่างนึง
ตัวอย่างจากหนังสือ Consistency problems for Heath-Jarrow-Morton interest rate models ของ Prof. Filipovic (Image 2-7) แสดงให้เห็นว่างานใน HJM ของท่าน rigorous ประมาณไหน ซึ่งเป็นการ apply pure mathemacitcal techniques ลงบนทฤษฎีการเงินระดับสูงมาก
อย่างไรก็ตาม HJM ได้รับการวิพากษ์อย่างรุนแรงจาก Dr Paul Wimott สุดยอด quant จากฝั่ง applied mathematics คนนึงของโลก ว่า "...actually just a big rug for mistakes to be swept under" ไม่ว่าเราจะเอนเอียงไปฝั่ง Pro HJM หรือ anti HJM ผมว่ามันไม่เสียหายอะไรที่จะฟังความจากยอดฝีมือทั้งสองฝั่ง, pure maths VS applied maths
เกริ่นนำเรื่องความเป็นมาของ interest rate model ต่างๆมาพอสมควรแล้ว คราวนี้ลองมาดู LIBOR Market Models (LMM) กันบ้าง LMM นั้นสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภทคือ LIBOR Forward Model (LFM) และ LIBOR Swap Model (LSM) ตามประเภทของ rates หรือประเภทของ yield curve
LIBOR Market Models - ประวัติความเป็นมาและวิธีการ derive LIBOR Forward Model
.
.
https://m.facebook.com/story.php?story_fbid=pfbid026x8b2gewoC99GZfKvaBtprPQUaLMxHsRyaB5Tc8Uw9ELpFBGm5fzuqSQuJeCFse9l&id=310069816082389
LIBOR Market Models - its history and the derivation of LIBOR Forward Model.
20 Jan 2022
“There is nothing either good or bad but thinking makes it so.”, Hamlet, Act 2 Scene 2 - William Shakespeare.
ก่อนที่จะเขียนถึง LIBOR Market Models (LMM) คงต้องเริ่มที่ความเป็นมาของ interest rate models ก่อน ซึ่ง interest rate model ต่างๆนั้นมีพัฒนาการผ่านยุคสมัยมาค่อนข้างยาวนานพอสมควร
ย้อนไปประมาณยุค 80s ถ้าจำไม่ผิด หลังจากโลกเราได้รู้จัก Black-Scholes model มาแล้วปีก่อนหน้านั้น ราวๆยุค 70s
ก่อนที่จะมี interest rate models ยุคนั้น traders, quantitative analyst, และผู้ที่เกี่ยวข้องกับการทำกำไรใน interest rate options ยังไม่รู้ว่า stochastic differential equation (SDE) ซึ่งเป็นสมการตั้งต้นสำหรับการแก้ปัญหา interest rate options นั้นแตกต่างกับสมการที่ใช้ในการแก้ปัญหา Black-Scholes
จนกระทั่งมี quants/mathematicians ยุคแรกๆตั้งข้อสังเกตุว่า อัตราดอกเบี้ยเคลื่อนไหวแตกต่างจาก underlying ประเภทหุ้น ทอง น้ำมัน ฯลฯ คือมันเป็น mean reversion ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่ converge เข้าสู่เส้น long term average นี่คือจุดเริ่มต้นของการแยก SDE สำหรับ interest rate model ออกจาก SDE สำหรับหุ้น ซึ่ง ณ เวลานั้น product ต่างๆของ interest rate option ยังไม่ซับซ้อนเท่าไร (mean-reversion นี้เป็นคุณสมบัติที่จำเป็นสำหรับ short rate model ต่างๆเนื่องจากการที่ต้อง calibrate กับ long-term bonds แต่ไม่จำเป็นสำหรับ LIBOR Market Models เลย เพราะสามารถ calibrate กับ cap และswaption volatilities ได้โดยตรง)
นี่คือจุดกำเนิดของ short rate model ต่างๆ เช่น Black-Derman-Toy model (BDT), Ho and Lee interest rate model, Black-Karinsinski model, Vasicek interest rate model, Cox-Ingersoll-Ross model (CIR), Hull-White model (HW) เป็นต้น ซึ่งโมเดลเหล่านี้ถือกำเนิดขึ้นราวๆยุค 80s เป็นต้นมา (ถ้าจำไม่ผิด) และถือเป็น affine term structure model (โมเดลที่เชื่อมโยง bond prices กับ spot interest rate) เหตุผลที่เรียก short rate model เพราะ SDE ของดอกเบี้ยที่ตั้งสมมติฐานไว้แต่ต้นเป็น instantaneous หมายความว่า SDE นี้ holds true เวลาที่สั้นมากๆ แต่ interest rate option ต่างๆมี maturity ระยะยาวกว่าทั้งนั้น และไม่เป็น instantaneous จึงต้องมีการ calibrate ก่อนใช้งาน โดยแต่ละ short rate model ก็มี parameter ที่ต้อง calibrate หรือ specify เองต่างกันไป เช่น การ calibrate กับ bond อายุ 10 ปี เพื่อหา long term average และ mean reversion rate เป็นต้น
การทำ calibration หรือ การทำ fitting ก่อนใช้งานถือเป็นขั้นตอนสำคัญที่ทำให้ interest rate option แตกต่างจาก equity options, FX options, and etc. กล่าวคือใน equity option เราหา implied vol หรือใช้ vol model ประเภทอื่นๆสำหรับช่วยในการเทรด หรือในการ launch exotic equity option เมื่อได้ implied vol จาก call/put ที่ quote โดยปกติก็สามารถนำ vol ไปใช้เป็น input สำคัญในการคำนวณราคา exotic equity optionได้เลย และมี vol เพียงหนึ่งเดียว ไม่ว่า vol นั้นจะเป็น time-dependent function หรือไม่ก็ตาม แต่ interest rate option นั้นแตกต่าง เนื่องจากมี product มากมายที่ซับซ้อนเกินกว่า vanilla product เช่น swaption เทียบกับ equity option ที่ใช้ Black-Scholes แล้ว ดังนั้นในหนึ่ง product ที่มี exotic feature เน้นๆนั้น เราอาจต้อง calibrate กับทั้ง swaption vol และ cap vol ในเวลาเดียวกัน (joint calibration in LMM) เช่น structured product ที่มี callable feature เราต้อง calibrate กับ swaption vol และมี feature ที่มี payoff นับเป็นช่วงๆของเวลา เช่น ทุก 3เดือน 6เดือน จ่าย rebate x% หาก LIBOR อยู่ใน range ที่กำหนด อันนี้ต้อง calibrate กับ cap vol เป็นต้น ตัวอย่างง่ายๆของ product ประเภทนี้คือ Callable Daily Range Accrual Note (CRAN) ที่สามารถ decompose เป็น long floating rate note + short series ของ daily double knockout digital options + long Bermudan swaption (สำหรับผู้ออก structured product ไว้ cancel note นี้ทิ้งไป ก็คือ callable feature นั่นเอง ซึ่งตัวนี้ปกติเรามองเป็น Callable Range Accrual Swap (CRAS) เป็น swap ที่แยกองค์ประกอบได้เป็น options) และแน่นอนว่าการทำ joint calibration นั้นเราได้ extract เอา term structure ของ correlation ระหว่าง tenor ของดอกเบี้ยออกมาด้วย (correlation matrix) เป็นของแถม
ข้อด้อยสำหรับ short rate model ต่างๆคือ ไม่สามารถ calibrate กับ interest rate option products อย่าง cap, floor, และ swaption ซึ่งเป็น product ที่ liquid และจำเป็นสำหรับการ hedge interest rate option ได้โดยตรง จึงต้องอาศัยการ calibrate กับ bond put options แทน (แต่ก็ equivalent กัน)
และการที่ quants, structurers, traders สามารถ calibrate short rate model กับ bond put option ได้แทนการ calibrate กับ cap, floor, swaption นั้น เริ่มจากสุดยอด financial mathematician อย่าง Jamshidian ซึ่งเป็นผู้ค้นพบความจริงดังกล่าว (Jamshidian's decomposition) แม้การค้นพบดังกล่าวอาจไม่ได้เรียกว่าเป็นงานที่แสดง quant skills มากมายอะไรเลย เป็นเพียงการมองแบบ product decomposition และเทียบเคียง payoff กันเท่านั้น แต่ Jamshidian มีงานสำคัญๆอีกหลายชิ้น และหนึ่งในนั้นคือการสร้าง LIBOR Swap Model (LSM) ในปี 1997 ซึ่งเป็นหนึ่งในสอง LIBOR Market Model (LMM) ซึ่งอีกโมเดลนึงคือ LIBOR Forward Model (LFM)
ข้อด้อยอีกข้อนึงของ short rate models เท่าที่นึกออก คือ Hedging เนื่องจาก short rate ไม่ใช่ rate ที่มีการเทรดในตลาดจริง เป็นสมมติฐานสำหรับ mathematical modelling ตอนตั้งต้น ดังนั้นการ hedge cap, swaptions, หรือ interest rate option ประเภทอื่นๆที่มี underlying เป็น LIBOR บ้าง, swap rate บ้างด้วย short rate models นั้น มันต้องมี mismatch อยู่แล้ว (แม้ว่า rates trader แบงค์ยักษ์ใหญ่ยุโรปยุค 2000 ต้นๆเคยบอกผมว่าเขาใช้ eight-factor model ก็ตาม คาดว่าน่าจะเป็น eight-factor HW ซึ่งยุคนั้นบางแบงค์ก็ใช้ LMM แล้ว และคิดว่าแบงค์ยุโรปนี้ก็มี LMM แล้วด้วย ปกติ short rate model ที่เรา discuss กันในที่นี้เป็น single factor model แต่กรณีที่ต้องการทำให้ process มี dynamic เป็นไปตามต้องการมากขึ้น quant บางคน ก็จะเปลี่ยนเป็น Two-factor model, Three-factor model, and etc.) ดังนั้น rates traders/interest rate option traders ต้อง handle mismatch นี้ระหว่าง trading หรือ hedging เอาเอง อย่างไรก็ตาม rates trader บางคนอาจชอบ short rate models กว่าจากความไม่ perfect ของมันก็ได้ ตัวอย่างเช่น trader's interview ท้ายเล่มของ Brigo and Mercurio (2007), เฉพาะ 2nd Edition นะ ตาม references ด้านล่าง
แต่ก่อนที่จะพูดถึง LMM เราคงต้องเอ่ยถึง Heath-Jarrow-Morton Model (HJM) ก่อน เพราะเป็น step สำคัญสำหรับ interest rate modelling เลยทีเดียว เพราะว่า HJM นั้นเป็น instantaneous forward rate model ไม่ใช่ short rate model
อย่างที่ rates trader ทุกคนคงรู้ดีอยู่แล้วว่า forward rate ต่างๆนั้น คำนวณได้จาก spot yield curve และ swap rate ต่างๆนั้น เท่ากับ ผลหารระหว่าง 1 - floating leg bond และ fixed leg bond (bond ที่จ่ายอัตราดอกเบี้ยลอยตัวและ bond ที่จ่ายดอกเบี้ยคงที่) จะเห็นได้ว่าเราสามารถเขียน forward swap rate จากจุดใดจุดนึงไปสู่อีกจุดนึงตามแกนเวลาได้จากการประกอบกันของ forward rate ( ดูที่ Image 1) ซึ่งหมายความว่า forward swap rate สามารถ decompose เป็น forward rate ได้ แต่ไม่สามารถเริ่มจาก forward swap rate แล้วเขียนให้เป็น forward rate ได้ นี่เป็นคุณสมบัติข้อนึงที่มีส่วนในการตัดสินใจเลือกระหว่าง LSM หรือ LFM ของ quant ในการทำ interest rate modelling
แม้ว่าในเชิง product แล้ว การมี HJM ก็ไม่ได้ช่วยให้ pricing and hedging interest rate options ดีกว่า short rate models เท่าไร เพราะว่า HJM ก็ยังมีลักษณะการแทน process ด้วยหนึ่ง stochastic process ในขณะที่ cap และ floor ที่แยกเป็น series ของ caplets และ floorlets นั้น มี underlying เป็น LIBOR forward rate หรือ forward rate ในสกุลเงินอื่นๆ หลายๆตัว รวมไปถึง swaption ที่มี underlying เป็น LIBOR forward swap หลายๆตัว ดังนั้น governing equation ที่ตอบโจทย์ก็ต้องเป็นระบบสมการของ stochastic process หลายๆ process เป็นต้น
แต่ว่าในเชิงทฤษฎีแล้ว การค้นพบ HJM ในราวๆปี 1987-1992 (นับตั้งแต่ปีที่ยังเป็น working paper ที่ Cornell University จนถึงปีที่ publish) ถือเป็นก้าวสำคัญอย่างนึงในวงการ quant เพราะว่า ในงานของนักคณิตศาสตร์สามท่านคือ Heath, Jarrow, และ Morton นั้นได้แสดง proof บางอย่างซึ่งยืนยันถึง uniqueness and existence อันเป็นภาคบังคับสำหรับการค้นพบทฤษฎีทาง pure mathematics ถ้าปราศจากบทพิสูจน์นี้ เราจะไม่สามารถยืนยันความถูกต้องโดยสมบูรณ์ได้ไม่ว่าจะค้นพบอะไรมาก็ตาม อันนี้เป็นสิ่งที่ applied mathematics ไม่มี ที่สำคัญการแสดง proof ในงานของ HJM นั้นถือว่ายากเลยทีเดียว สามารถนำ HJM ไปศึกษาต่อยอดเป็น PhD thesisได้เลย ยกตัวอย่างเช่น PhD thesis ของ Professor Damir Filipovic นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสเป็นต้น และสำนักพิมพ์ Springer ได้นำ thesis ของท่านบางส่วนในเรื่อง HJMไป publish เป็นหนังสือในชุด Lectures in Mathematics วางจำหน่ายอีกด้วย (หนังสือชื่อ Consistency for Heath-Jarrow-Morton interest rate models) แม้ว่า PhD thesis และ หนังสือของท่านถูกเขียนขึ้นในยุคที่มี LMM แล้วก็ตาม น่าจะเป็นเครื่องยืนยันสำคัญของทฤษฎี HJM ได้อย่างนึง
ตัวอย่างจากหนังสือ Consistency problems for Heath-Jarrow-Morton interest rate models ของ Prof. Filipovic (Image 2-7) แสดงให้เห็นว่างานใน HJM ของท่าน rigorous ประมาณไหน ซึ่งเป็นการ apply pure mathemacitcal techniques ลงบนทฤษฎีการเงินระดับสูงมาก
อย่างไรก็ตาม HJM ได้รับการวิพากษ์อย่างรุนแรงจาก Dr Paul Wimott สุดยอด quant จากฝั่ง applied mathematics คนนึงของโลก ว่า "...actually just a big rug for mistakes to be swept under" ไม่ว่าเราจะเอนเอียงไปฝั่ง Pro HJM หรือ anti HJM ผมว่ามันไม่เสียหายอะไรที่จะฟังความจากยอดฝีมือทั้งสองฝั่ง, pure maths VS applied maths
เกริ่นนำเรื่องความเป็นมาของ interest rate model ต่างๆมาพอสมควรแล้ว คราวนี้ลองมาดู LIBOR Market Models (LMM) กันบ้าง LMM นั้นสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภทคือ LIBOR Forward Model (LFM) และ LIBOR Swap Model (LSM) ตามประเภทของ rates หรือประเภทของ yield curve