สงสัยเรื่อง งานวิจัยทางคณิตศาสตร์ครับ

อาทิตย์ก่อนดูซีรีส์เกาหลีเรื่อง Melancholia เล่าถึงอัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ ที่สามารถแก้สมการนู่นนี่นั่นได้

ดูแล้วผมเลยสงสัยว่า งานวิจัยทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบันมีลักษณะเป็นแบบไหนครับ คือ เป็นไปในลักษณะตั้งโจทย์ขึ้นมาแล้วพิสูจน์หาคำตอบเหรอครับ แล้วใครจะเป็นคนตั้งโจทย์ครับ

แล้วอย่างวิทยานิพนธ์ของ นักศึกษา ป.เอก ที่ผมทราบคือ ป.เอก ต้องวิจัยสิ่งใหม่ ๆขึ้นมาได้เป็นองค์ความรู้ใหม่ แล้วแบบนี้จะไม่ยากเกินความสามารถเหรอครับ เขาทำวิจัยกันเชิงไหนครับ

ในซีรีส์ยังกล่าวถึง “ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา” ที่ใช้เวลาเป็นร้อยปีกว่าจะมีคนพิสูจน์ได้ แถมคนพิสูจน์ยังใช้เวลาถึง 7 ปี จึงพิสูจน์ได้สำเร็จโดยใช้ เรขาคณิตเชิงพีชคณิต ผมก็สงสัยต่อไปอีกว่า คณิตศาสตร์มีการคิดค้นพัฒนาอะไรใหม่ๆ มาเรื่อยเหมือนเทคโนโลยีด้วยเหรอครับ คือ เมื่อถึงเวลาหนึ่งก็จะสามารถไขคำตอบของทฤษฏีบทต่าง ๆ ได้ คล้ายกับการสะสมองค์ความรู้ถ่ายทอดกันต่อมาใช่ไหมครับ แล้วค่อยย้อนกลับไปพิสูจน์ทฤษฏีบทที่นักคณิตศาสตร์ยุคก่อนตั้งโจทย์ไว้เหรอครับ

สุดท้ายที่สงสัยคือ ทฤษฏีบทต่าง ๆ ที่ยากแก่การพิสูจน์ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงอะไรต่อโลกบ้างครับ อันนี้ผมสงสัยเพราะ ผมอ่อนคณิตศาสตร์มาก จนอ่านไม่เข้าใจว่า เราใช้ประโยชน์ในด้านไหนบ้าง คือ ประโยชน์คงมีมากแต่ผมเข้าไม่ถึงน่ะครับ พอจะยกตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมที่คนยุคปัจจุบันใช้ผลลัพธ์นั้นอยู่โดยไม่รู้ตัวให้ฟังหน่อยได้ไหมครับ

แล้วยังมีอะไรที่รอการพิสูจน์อีกไหมครับ แล้วมีสมการหรือทฤษฏีบทที่จะเปลี่ยนโลกไปอีกยุคไหมครับ 

ถามเยอะเลยครับ ขอบคุณมากครับ