ระบบสมการนี้เป็นเชิงเส้นหรือเปล่าครับ?

ขอตอบในฐานะที่เคยสอนวิชา Linear system

ใน Linear Dynamical system นิยามความเป็น Linear ขึ้นอยู่กับสมบัติสองประการของระบบ
ถ้าสมมติใส่ input เข้าระบบเป็นสัญญาณ x(n) และจะได้สัญญาณ output เป็น y(n)

สมบัติประการแรกคือ Homogeneity หรือก็คือ ถ้าเราสเกล x(n) ไปเท่าไหร่ y(n) ก็จะสเกลไปเท่านั้นด้วย
หรือก็คือใส่ input เป็น kx(n) จะได้ output เป็น ky(n)

สมบัติประการที่สองคือ superposition หรือก็คือถ้าเรารู้ว่า input x1(n)  ให้ output y1(n) และ x2(n) ให้ y2(n)
แล้วระบบที่เป็นเชิงเส้นจะได้สัญญาณ output จาก input x1(n)+x2(n) เป็น y1(n) + y2(n)


วิธีการจะบอกว่าระบบหนึ่งเป็น Linear หรือไม่ ให้ดูจากสมบัติสองประการนี้ ถ้าหากเป็นจริงทั้งคู่ เราจะเรียกระบบนั้นว่าระบบ Linear
แต่ถ้าไม่จริงแม้ว่าจะตัวใดตัวหนึ่ง ก็จะเรียกว่าระบบ nonlinear

จากปัญหาที่ให้มาก็ลองแทนค่าดูเลย
y(n) = (x(n)-x(n-2))^2
ตรงนี้คือ input x, output y

1. Homogeneity (input เป็น kx(n) output ต้องได้ ky(n))

จากขวามือ สเกล x ด้วย k จะได้

(k*x(n)-k*x(n-2))^2
จัดรูปจะได้ k^2*(x(n)-x(n-2))^2 = (k^2)*y(n)

จะเห็นว่า input เป็น kx(n) แต่ได้ออกมาเป็น k^2 y(n) ซึ่งขัดกับนิยามข้อแรก

ระบบนี้จึงเป็นระบบ nonlinear ครับ


เนื้อหาพวกนี้เรียกว่า Linear Dynamical system มีสอนใน Linear control theory, Control system theory อะไรพวกนี้
ตามอ่านได้ใน Textbook: Modern Control Engineering by Ogata, Automatic Control Systems by Kuo, Feedback Systems by Åström