คำถามเรื่องทฤษฎีจำนวน (ระดับ ม.ปลาย) เกี่ยวกับ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ครับ
จากที่ได้ลองศึกษาเรื่องนี้ ดูพบว่าหนังสือคณิตศาสตร์ส่วนมาก มักยกตัวอย่างข้อความ 2 ข้อความนี้มา เพื่อใช้แก้ปัญหาโจทย์คณิตศาสตร์
1. ถ้า x|a และ x|b แล้ว x | (a,b)
2. ถ้า a|x และ b|x แล้ว [a,b] | x
แต่พอลองทำจบแล้วก็ลองกลับมาดูอีกที เลยเกิดข้อสงสัยว่า ในหนังสือทุกเล่ม ไม่ได้มีการกล่าวถึงอีกด้านของข้อความ 1,2 เลย หรือว่ามันจะไม่จริง ? คือ
3. ถ้า x|a และ x|b แล้ว x | [a,b]
(มาจาก 1. เปลี่ยนจาก ห.ร.ม. เป็น ค.ร.น.)
4. ถ้า a|x และ b|x แล้ว (a,b) | x
(มาจาก 2. เปลี่ยนจาก ค.ร.น. เป็น ห.ร.ม.)
แต่พอลองพิสูจน์ข้อความ 3,4 ดู โดยการลองคิดค่าขอบเขตตัวเลขที่เป็นไปได้ของ 3,4 ดูแล้ว ก็คิดว่าข้อความทั้งสองน่าจะจริง แต่ก็ยังไม่ค่อยมั่นใจเท่าไหร่
เลยอยากจะสอบถามพี่ๆว่าข้อความ 3,4 จริงมั้ยครับ ?
ผมได้แนบรูปภาพวิธีที่ผมพิสูจน์ข้อความที่ 3 ไว้ด้วยครับ เป็นการคิดขอบเขตของตัวประกอบของ x และ ค.ร.น. ของ a,b แล้วผมพบว่า ตัวประกอบของ x น่าจะอยู่ภายในตัวประกอบของ [a,b] ทุกกรณี ดังนั้น x | [a,b] ส่วนในข้อความที่ 4 ผมคิดคล้ายๆกันครับ แต่มอง ห.ร.ม.
คล้ายกับการ Intersection ตัวประกอบที่มากสุดของ a และ b แทน ก็จะได้ว่า ตัวประกอบของ (a,b) ทุกตัว ล้วนอยู่ใน x ซึ่งจะทำให้ข้อความที่ 4 จริงครับ
ผมใช้คำว่า คล้าย กับการ Intersection กับ Union เพราะ ผมมองว่ามันไม่ได้เหมือนกันซ่ะทีเดียว แต่รูปแบบการทำงานคล้ายๆกัน คือ เลือกตัวซ้ำกัน (แต่ในที่นี้เป็นเพียงตัวเดียวที่มีค่ามากสุด) และ เลือกตัวเหมือนกัน (แต่เลือกจากตัวประกอบของ a,b ซึ่งอาจมีตัวประกอบซ้ำกันใน a,b ได้ เช่น 2×2 มองว่าเป็น 2 สองตัวซึ่งไม่เหมือนในกรณีของเซตที่นับเพียงตัวเดียว)
*** ส่วนตัวไม่แน่ใจว่าที่พิสูจน์ถูกไหม เพราะหนังสือหลายๆเล่มที่อ่านไม่มีพูดถึงข้อความที่ 3,4 เลย อยากให้ช่วยชี้แนะหน่อยครับ และรู้สึกว่า วิธีพิสูจน์ของผมออกจะยาวไปหน่อย มีวิธีที่ง่ายและได้ผลกว่านี้มั้ยครับ ? ***
คำถามเกี่ยว ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
จากที่ได้ลองศึกษาเรื่องนี้ ดูพบว่าหนังสือคณิตศาสตร์ส่วนมาก มักยกตัวอย่างข้อความ 2 ข้อความนี้มา เพื่อใช้แก้ปัญหาโจทย์คณิตศาสตร์
1. ถ้า x|a และ x|b แล้ว x | (a,b)
2. ถ้า a|x และ b|x แล้ว [a,b] | x
แต่พอลองทำจบแล้วก็ลองกลับมาดูอีกที เลยเกิดข้อสงสัยว่า ในหนังสือทุกเล่ม ไม่ได้มีการกล่าวถึงอีกด้านของข้อความ 1,2 เลย หรือว่ามันจะไม่จริง ? คือ
3. ถ้า x|a และ x|b แล้ว x | [a,b]
(มาจาก 1. เปลี่ยนจาก ห.ร.ม. เป็น ค.ร.น.)
4. ถ้า a|x และ b|x แล้ว (a,b) | x
(มาจาก 2. เปลี่ยนจาก ค.ร.น. เป็น ห.ร.ม.)
แต่พอลองพิสูจน์ข้อความ 3,4 ดู โดยการลองคิดค่าขอบเขตตัวเลขที่เป็นไปได้ของ 3,4 ดูแล้ว ก็คิดว่าข้อความทั้งสองน่าจะจริง แต่ก็ยังไม่ค่อยมั่นใจเท่าไหร่ เลยอยากจะสอบถามพี่ๆว่าข้อความ 3,4 จริงมั้ยครับ ?
ผมได้แนบรูปภาพวิธีที่ผมพิสูจน์ข้อความที่ 3 ไว้ด้วยครับ เป็นการคิดขอบเขตของตัวประกอบของ x และ ค.ร.น. ของ a,b แล้วผมพบว่า ตัวประกอบของ x น่าจะอยู่ภายในตัวประกอบของ [a,b] ทุกกรณี ดังนั้น x | [a,b] ส่วนในข้อความที่ 4 ผมคิดคล้ายๆกันครับ แต่มอง ห.ร.ม. คล้ายกับการ Intersection ตัวประกอบที่มากสุดของ a และ b แทน ก็จะได้ว่า ตัวประกอบของ (a,b) ทุกตัว ล้วนอยู่ใน x ซึ่งจะทำให้ข้อความที่ 4 จริงครับ
ผมใช้คำว่า คล้าย กับการ Intersection กับ Union เพราะ ผมมองว่ามันไม่ได้เหมือนกันซ่ะทีเดียว แต่รูปแบบการทำงานคล้ายๆกัน คือ เลือกตัวซ้ำกัน (แต่ในที่นี้เป็นเพียงตัวเดียวที่มีค่ามากสุด) และ เลือกตัวเหมือนกัน (แต่เลือกจากตัวประกอบของ a,b ซึ่งอาจมีตัวประกอบซ้ำกันใน a,b ได้ เช่น 2×2 มองว่าเป็น 2 สองตัวซึ่งไม่เหมือนในกรณีของเซตที่นับเพียงตัวเดียว)
*** ส่วนตัวไม่แน่ใจว่าที่พิสูจน์ถูกไหม เพราะหนังสือหลายๆเล่มที่อ่านไม่มีพูดถึงข้อความที่ 3,4 เลย อยากให้ช่วยชี้แนะหน่อยครับ และรู้สึกว่า วิธีพิสูจน์ของผมออกจะยาวไปหน่อย มีวิธีที่ง่ายและได้ผลกว่านี้มั้ยครับ ? ***