โจทย์การสับเปลี่ยน จัดหมวดหมู่ และนับวิธี

นักเรียกลุ่มหนึ่ง ชาย 10 คน (มีนายกุ๊กไก่ และนายขนมครก รวมอยู่ด้วย) หญิง 7 คน ถ้าครูเลือกนักเรียน 6 คน จากกลุ่มนี้ไปเข้าแข่งขันงานศิลปหัตถกรรม ต้องมีชายอย่างน้อย 2 คน และหญิงอย่างน้อย 3 คนโดยที่นายกุ๊กไก่ และนายขนมครก ไปพร้อมกันไม่ได้ ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ
จากโจทย์ เรามามารถแบ่ง ได้ 2 กรณีครับ คือ กรณีแรก ชาย 2 คน หญิง 4 คน กรณีที่สอง ชาย 3 คน หญิง 3 คน (กรณีที่ผมแบ่งไม่ขัดกับโจทย์)

กรณีแรก ช 2 ญ 4 มาดูฝั่งชายจะได้ 10 เลือก 2 ได้ 45 วิธีแต่ต้อง ลบ 1 เพราะใน 45 วิธีนี้ มี วิธีที่นายกุ๊กไก่และนายขนมครกไปด้วยกัน
จะได้ 44 วิธี ต่อไปมาดูฝั่งหญิงครับ จะได้ 7 เลือก 4 = 35 วิธี จากนั้นนำมาคูณ กับ 44 (เพราะเป็นขั้นตอนในการทำงาน) จะได้ 1540 วิธี

กรณีที่สอง ช 3 ญ 3 ฝั่งชายจะได้ 10 เลือก 3 ได้ 120 วิธีแต่ต้องลบวิธีที่นายกุ๊กไก่และนายขนมครกไปด้วยกันจะได้ 120-8=112
(ใน 3 คน ของฝั่งผู้ชาย ให้ 2 คนในนั้นเป็นนายกุ๊กไก่และนายขนมครกก็จะเหลือ 1 ที่ แต่เหลือชายอีก 8 คน ก็จะได้ 8 เลือก 1 ซึ่งก็คือ 8 แสดงว่าใน 120 วิธีมีนายกุ๊กไก่และนายขนมครกและใครก็ไม่รู้ไปด้วยกัน 8 วิธี) ฝั่ง ญ ก็ 7 เลือก 3 ได้ 35 วิธี คูณกับฝั่งชาย 112 วิธี จะได้ 3920 วิธี

สรุป จากนั้นนำ 2 กรณีมาบวกกัน ได้ 5460 วิธีครับ