ใครเก่งคณิตศาสตร์รบกวนสละเวลาซักเล็กน้อยเพื่ออธิบายคำถามที่ดิฉันจะถามด้วยค่ะ(ดิฉันออกจะโง่ๆเรื่องนี้ค่ะ)ขอบคุณมากค่ะ^_^.

ขออณุญาติก็อปข้อความมาจากเว็ป
http://learning1213.blogspot.com/p/blog-page_28.html?m=1

เพื่อให้คุณผู้อ่านทุกๆท่านอ่านสะดวกขึ้น

ปริมาตรของปริซึมและทรงกระบอก
              บุคคลในหลายสาขาอาชีพต้องเข้าใจและชำนาญในเรื่องของการวัด การชั่ง การตวง และเรื่องที่เกี่ยวกับปริมาตรเป็นอย่างดี ไม่เช่นนั้นอาจทำให้เกิดข้อผิดพลาดและเสียหาย เช่น วิศวกรอาจออกแบบโครงสร้างของสิ่งก่อสร้างต่างๆ ได้ไม่แข็งแรงพอ นักวิทยาศาสตร์อาจทำการทดลองแล้วผิดพลาดทำให้เกิดการระเบิด หรือพ่อครัวอาจปรุงรสอาหารแล้วได้รสชาติไม่คงที่
               สำหรับบุคคลทั่วไป การเรียนรู้และใช้ความรู้เกี่ยวกับปริมาตรจะช่วยให้เราเป็นผู้บริโภคที่ฉลาดในการเลือกซื้อสินค้า รู้จักเปรียบเทียบราคาของสินค้าต่อหน่วยปริมาตร ทำให้เลือกซื้อสินค้าได้ถูกว่าและช่วยให้เราประหยัดค่าใช้จ่ายได้
                เมื่อกล่าวถึงการวัดความจุ จะหมายถึงการหาปริมาตร การหาปริมาตรของวัตถุใดๆ อาจทำได้โดยการจมวัตถุนั้นลงในภาชนะที่มีน้ำอยู่ ตราบใดที่วัตถุไม่ละลายหรือดูดซับน้ำ ปริมาตรของน้ำส่วนที่เพิ่มขึ้น หรือปริมาตรของน้ำที่ล้นออกมาในกรณีเดิมมีน้ำอยู่เต็มภาชนะพอดี จะเท่ากับปริมาตรของวัตถุนั้น วิธีการนี้เป็นการหาปริมาตรของวัตถุโดยการแทนที่น้ำ
ในทางคณิตศาสตร์ เราอาจคำนวณหาปริมาตรของสิ่งของต่างๆ ได้โดยไม่ต้องใช้การแทนที่น้ำ ในบทเรียนนี้ น้องๆ จะได้ศึกษาการหาปริมาตรของรูปเรขาคณิตสามมิติหลายชนิด ได้แก่ ปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด และทรงกลม
ปริมาตรของปริซึม
         ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากเป็นปริซึมชนิดหนึ่งที่เรียกว่า ปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉาก น้องๆ รู้จักการหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมาแล้ว ดังนั้น สูตรการหาปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉาก จึงเป็นสูตรเดียวกันกับสูตรการหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก กล่าวคือ
ปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉาก
=ความกว้าง x ความยาว x ความสูง
=พื้นที่ฐาน x ความสูง
           สำหรับปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมใดๆ หาได้โดยอาศัยวิธีหาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนี้
ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก =  ½ ของปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉาก 
จากความจริงข้างต้น ช่วยให้เราหาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมASR ใดๆ ได้ดังนี้
แบ่งปริซึมสามเหลี่ยม ASR เป็นปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก ASDและปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากARD โดยตัดตามแนวระนาบABCD ดังรูป
สร้างปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉาก PQRSให้มีปริซึมสามเหลี่ยม ASR เป็นส่วนหนึ่ง ดังรูป
ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก ASD เป็นครึ่งหนึ่งของปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉาก ADSP และในทำนองเดียวกัน ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก ARD ก็เป็นครึ่งหนึ่งของปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉาก ADRQ
ดังนั้น ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก ASR จึงเป็นครึ่งหนึ่งของปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉาก PQRS นั่นคือ
ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมASR
=
½ ของปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉาก PQRS
=
½ x (พื้นที่ของ □PQRS x AB)
=
(½ x พื้นที่ของ □PQRS x AB)
=
พื้นที่ฐานของปริซึมสามเหลี่ยม ASR xความสูง
-------------------- นั่นคือ ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมใดๆ = พื้นที่ฐาน x ความสูง
         เราสามารถนำสูตรการหาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมใดๆ ไปหาสูตรของปริซึมที่มีฐานรูปหลายเหลี่ยมได้โดยแบ่งฐานของปริซึมหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยมหลายๆ รูป ตัวอย่างเช่น เราแบ่งปริซึมห้าเหลี่ยม ซึ่งสูงh หน่วย ออกเป็นปริซึมสามเหลี่ยม 3 รูป ได้ดังนี้
ปริมาตรของปริซึมห้าเหลี่ยม
=
ปริมาตรของปริซึม 1+ ปริมาตรของปริซึม2 + ปริมาตรของปริซึม 3
=
(พื้นที่ฐานของปริซึม1 x h ) + (พื้นที่ฐานของปริซึม 2 x h ) + (พื้นที่ฐานของปริซึม3 x h )
=
[พื้นที่ฐานของปริซึม1 + พื้นที่ฐานของปริซึม 2 + พื้นที่ฐานของปริซึม 3] 
 x h
=
พื้นที่ฐานของปริซึมห้าเหลี่ยม x h
โดยทั่วไป สูตรการหาปริมาตรของปริซึมเป็นดังนี้
ปริมาตรของปริซึมใดๆ
=พื้นที่ฐาน xสูง

ปริมาตรของทรงกระบอก
    นักเรียนลองนึกภาพของรูหลายเหลี่ยมด้านเท่าตามลำดับที่กำหนดให้ด้านล่างนี้ เริ่มจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า รูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า รูปเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า และรูปแปดเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า จะสังเกตเห็นว่ายิ่งจำนวนด้านมีมากขึ้นเท่าใด รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าเหล่านั้นก็จะมีรูปร่างใกล้เคียงกับวงกลมมากขึ้นตามไปด้วย
เราอาจกล่าวได้ว่า ทรงกระบอกจึงมีลักษณะใกล้เคียงกับปริซึมที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าจำนวนด้านมากๆ ดังนั้น การหาปริมาตรของทรงกระบอกจึงหาได้ในทำนองเดียวกันกับการหาปริมาตรของปริซึมนั่นเอง
นั่นคือ
ปริมาตรของทรงกระบอก
=
พื้นที่ฐาน xสูง
เนื่องจากพื้นที่ฐานหาได้จากพื้นที่ของวงกลมที่เป็นฐานของทรงกระบอก ซึ่งเท่ากับ πr²
เมื่อ r แทนรัศมีของวงกลมที่เป็นฐานของทรงกระบอก และ h แทนความสูงของกระบอก
ดังนั้น
ปริมาตรของทรงกระบอก
=
πr²hปริมาตรของพีระมิดและกรวย
นักเรียนรู้จักปริมาตรของปริซึมและทรงกระบอกมาแล้ว ในหัวข้อนี้เราจะต้องนำความรู้ดังกล่าวมาใช้ประกอบในการหาปริมาตรของพีระมิดและกรวย เพื่อให้ได้แนวคิดในการหาปริมาตรของพีระมิดและกรวย
ปริมาตรของพีระมิด
สมมติว่าเราเททรายจากพีระมิดลงในปริซึมที่มีพื้นที่ฐานเท่ากันและความสูงเท่ากันจำนวนสามครั้ง จึงจะได้ทรายเต็มปริซึมพอดี เราจึงคาดการณ์ว่าปริมาตรของพีระมิดเป็นหนึ่งในสามของปริมาตรของปริซึมที่มีพื้นที่ฐานเท่ากันและความสูงเท่ากัน ซึ่งอาจแสดงความสัมพันธ์ได้ด้วยรูปภาพ ดังนี้
ในทางคณิตศาสตร์ ข้อความคาดการณ์ข้างต้นเป็นจริงตามความสัมพันธ์ต่อไปนี้
ปริมาตรของพีระมิด   = 1/3 ของปริมาตรของปริซึมที่มีพื้นที่ฐานเท่ากับพื้นที่ฐานของพีระมิดและ
ความสูงเท่ากับความสูงของพีระมิด
                             = 1/3 x (พื้นที่ฐานของปริซึม x ความสูงของปริซึม )
= 1/3 x (พื้นที่ฐานของพีระมิด x  ความสูงของพีระมิด )
โดยทั่วไปสูตรการหาปริมาตรของพีระมิด เป็นดังนี้
ปริมาตรของปริซึม = 1/3 x พื้นที่ฐาน x สูง
นักเรียนทราบแล้วว่า รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีจำนวนด้านมากๆ จะมีรูปร่างใกล้เคียงกับวงกลม ดังนั้น กรวยจึงมีลักษณะใกล้เคียงกับพีระมิดที่ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่มีจำนวนด้านมากๆ
นักเรียนได้เห็นความสัมพันธ์ของปริมาตรของพีระมิดกับปริซึมที่มีพื้นที่ฐานเท่ากันและความสูงเท่ากันมาแล้ว ปริมาตรของกรวยก็สัมพันธ์กับปริมาตรของทรงกระบอกในทำนองเดียวกัน กล่าวคือ
ปริมาตรของกรวย = 1/3 ของปริมาตรของทรงกระบอกที่มีพื้นที่ฐานเท่ากับพื้นที่ฐานของกรวยและมีความสูงเท่ากับความสูงของกรวย
                                ปริมาตรของกรวย = 1/3 x พื้นที่ฐาน x สูง
หรือ ปริมาตรของกรวย = 1/3πr²h           เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของกรวย
h แทนความสูงของกรวย
    เพื่อเป็นการตรวจสอบการหาปริมาณของกรวยข้างต้น นักเรียนอาจทำการทดลองเททรายจากทรงกระบอกที่มีพื้นที่ฐานเท่ากันและความสูงเท่ากันกับของกรวย จะพบว่า เททรายลงในกรวยที่มีขนาดใหญ่เท่ากันได้เต็ม 3 อันพอดี ซึ่งอาจแสดงความสัมพันธ์ด้วยรูปภาพได้ ดังนี้

ปริมาตรของทรงกลม
        นักเรียนเคยสังเกตหรือไม่ว่า ไข่กบ แตงโม ส้มโอ โลก ดวงจันทร์ และอื่นๆ อีกมากมายที่พบเห็นได้ทั่วไปในธรรมชาติมีรูปร่างลักษณะใกล้เคียงกับทรงกลม การที่รูปร่างของสิ่งต่างๆ ในธรรมชาติมีลักษณะใกล้เคียงกับทรงกลมเป็นเรื่องที่น่าสนใจ เพราะเมื่อเปรียบเทียบทรงกลมกับรูปเรขาคณิตสามมิติอื่นๆ ที่มีพื้นที่ผิวเท่ากับทรงกลมแล้ว ทรงกลมจะมีปริมาตรมากที่สุด หรืออีกนัยหนึ่งคือ ในบรรดารูปเรขาคณิตสามมิติที่มีปริมาตรเท่ากัน พื้นที่ผิวของทรงกลมจะน้อยกว่าพื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิตสามมิติอื่นๆ ทำให้ทราบว่า การที่ธรรมชาติสร้างทรงกลมห่อหุ้มสิ่งมีชีวิต นับเป็นการใช้วัสดุธรรมชาติอย่างประหยัด
ในทำนองเดียวกันกับการหาปริมาตรของทรงสามมิติที่กล่าวมาแล้ว เราจะใช้การตวงทราย โดยอาศัยความสัมพันธ์ระหว่างครึ่งทรงกลมกับทรงกระบอก และเพื่อให้ได้แนวคิดในการหาปริมาตรของทรงกลม 
ปริมาตรของทรงกลม
. ผ่าครึ่งลูกบอลพลาสติกออกเป็นสองซีก แล้วหาความยาวของรัศมีครึ่งทรงกลม สมมติให้เป็น r เซนติเมตร
2. ใช้กระดาษแข็งสร้างทรงกระบอกให้มีรัศมีของฐานยาว rเซนติเมตร และสูง 2r เซนติเมตร โดยเปิดฐานไว้ข้างหนึ่ง
3. ใส่ทรายให้เต็มครึ่งทรงกลม แล้วเททรายจากครึ่งทรงกลมใส่ในทรงกระบอก น้องๆ ต้องเททรายจากครึ่งทรงกลมที่มีทรายเต็มกี่ครั้งจึงจะเต็มทรงกระบอกพอดี
        จากกิจกรรมข้างต้น นักเรียนจะพบว่า ต้องเททรายจากครึ่งทรงกลมจำนวน 3 ครั้ง จึงจะเต็มทรงกระบอกพอดี แสดงว่าสามเท่าของปริมาตรของครึ่งทรงกลมมีรัศมียาว r เซนติเมตร จะเท่ากับปริมาตรของทรงกระบอกที่มีรัศมีของฐานยาว r เซนติเมตร และสูง2r เซนติเมตร
พื้นที่ผิวของปริซึมและทรงกระบอก
      นักเรียนได้หาปริมาตรของรูปเรขาคณิตสามมิติต่างๆ มาแล้ว ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงการหาพื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิตสามมิติบางรูป
     การหาพื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิตสามมิติใดๆ เป็นการหาพื้นที่ของพื้นที่ผิวทั้งหมดของรูปเรขาคณิตสามมิตินั้น
    การหาพื้นที่ผิวของปริซึมและทรงกระบอก หาได้โดยหาพื้นที่ของด้านข้างทั้งหมดรวมกับพื้นที่ของฐานทั้งสอง ซึ่งอธิบายโดยใช้รูปคลี่ได้ ดังนี้
พื้นที่ผิวของปริซึมเท่ากับพื้นที่ทั้งหมดของรูปคลี่ของปริซึม
พื้นที่ผิวของทรงกระบอกเท่ากับพื้นที่ทั้งหมดของรูปคลี่ของทรงกระบอก
สรุปสูตรการหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของเรขาคณิตรูปทรงต่างๆ
พื้นที่ผิวข้างของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า = ½ x ความยาวเส้นรอบรูปของฐาน x สูงเอียง
พื้นที่ผิวของพีระมิด = พื้นที่ฐาน +พื้นที่ผิวข้าง
พื้นที่ผิวข้างของปริซึม = เส้นรอบรูปของฐาน x สูง
พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + 2 (พื้นที่หน้าตัด)



คำถามของดิฉันก็คือ เพราะอะไรรูปทรงกลมจึงเป็นรูปทรงเดียวที่มีปริมาตรและความจุมากที่สุด เมื่อเทียบกับรูปทรงที่มีพื้นผิวเท่ากันกับวงกลม

และ ทำไมรูปทรงอื่นๆที่มีปริมาตรเท่ากับทรงกลมจึงกินพื้นที่(คือดูมีขนาดใหญ่กว่าทรงกลม)

คำถามของดิฉันมีเพียงเท่านี้ล่ะค่ะ
ขอขอบคุณทุกท่านที่ช่วยอธิบายมากนะคะ
ขอบคุณมากค่ะ