รบกวนช่วยแก้โจทย์ให้หน่อยครับ

มาเริ่มกันเลย

a = √3 + [(4 - 2√3) / (10 - 6√3)^1/3] ; ยกกำลัง 1/3 คือ square root 3

ทำในส่วน (4 - 2√3) / (10 - 6√3)^1/3 ก่อนค่อยนำกลับไปบวกทีหลัง โดยการทำส่วนไม่ให้ติด root ; แอบบหามาแล้วว่า (10 - 6√3)^1/3 = (10 - 10.392)^1/3 = -0.392^1/3 = -0.732 = (1 - √3)

พิสูจน์ได้จาก (a - b)³ = [(10 - 6√3)^1/3]³ = (10 - 6√3)
และ จาก (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ แทนค่า a = 1, b = √3 จะได้ว่า

(1 - √3)³ = 1³ - 3 (1)²(√3) + 3(1)(√3)² - √3³
(1 - √3)³ = 1 - 3√3 + 9 - 3√3
(1 - √3)³ = (10 - 6 √3)

เพราะฉะนั้น (10 - 6√3)^1/3 = (1 - √3) แทนค่าในสมการ จะได้ว่า

= (4 - 2√3) / (1 - √3) ; คูณ conjugate (1 + √3) / (1 + √3) เข้าไป จะได้ว่า
= (4 - 2√3) (1 + √3) / (1 - √3) (1 + √3) ; (a - b) (a + b) = a² - b²
= (4 - 2√3) (1 + √3) / (1 - 3)
= 2 (2 - √3) (1 + √3) / -2
= - [(2 - √3) (1 + √3)]
= - [2 + 2√3 - √3 - 3]
= - [√3 - 1]
= 1 - √3

เมื่อนำกลับไปเข้าสมการเดิม จะได้ว่า

a = √3 + 1 - √3
a = 1

จากโจทย์ จงหาค่า a⁶ + a³ + 1 = ? จะได้ว่า

(1)⁶ + (1)³ + 1
1 + 1 + 1 = 3

เพราะฉะนั้น คำตอบ คือ 3