Linear Algebra : ปัญหาการพิสูจน์เกี่ยวกับ infinite-dimensional vector space

กำหนดให้ T : V --> W ให้เป็น linear transformation ของ linear space V ส่งไปยัง linear space W
ถ้า V เป็น infinite-dimensional จงพิสูจน์ว่า Im(T) หรือ ker(T) อย่างน้อยหนึ่ง space ที่เป็น infinite-dimensional
Hint : สมมุติให้ dim(ker(T)) = k และ dim(Im(T)) = r
กำหนดให้ e₁, ... , e_k เป็น basis ของ ker(T)
กำหนดให้ e₁, ... , e_k, e_k+1, ... , e_k+n  เป็น linearly independent elements ใน V เมื่อ n > r
จะได้  T(e_k+1), ... , T(e_k+n) เป็น linearly dependent เนื่องจาก n > r
ให้อธิบายสิ่งที่เกิดขึ้นแล้วหาข้อขัดแย้ง

ลองพยายามทำตาม Hint แล้วก็ยังงงอยู่ดีว่าจะหาข้อขัดแย้งอย่างไร รบกวนผู้รู้ช่วยแนะนำวิธีการพิสูจน์อย่างละเอียดด้วยครับ
ขอขอบคุณครับผม...