ขอสอบถามเรื่องขาดส่งประกันสังคมค่ะ

เราออกจากที่ทำงานมาสิ้นเดือนพฤษภาคมปีที่แล้วค่ะ แล้วประกันสังคมคุ้มครองอีก6เดือนใช่มั๊ยคะ
แต่ว่าทางเราตกลงกับหัวหน้างานแล้ว พี่เค้าจะจัดการให้ ก็เลยตามพี่เค้า และคิดว่าเค้าคงจะไปแจ้งให้
เพราะว่าเราไปประกันสังคมมาเค้าบอกให้ที่ทำงานทำเรื่องเองค่ะ
ต่อมาคือเมื่อช่วงสิ้นเดือนปีใหม่ที่ผ่านมาเจออุบัติเหตุทำให้กระดูกตรงเท้าร้าว
และพยาบาลเขาบอกว่าสิทธิประกันสังคมขาดไปแล้ว ตอนนั้นก็อึ้งนะคะ แต่ก็เป็นความผิดเราด้วยที่ไม่ได้ตามเอง และพี่ที่ทำงานไม่ได้ทำตามที่ตกลงกันเอาไว้ ในตอนนั้นคือต้องจ่ายค่ารักษาพยาบาล พี่เค้าก็รับผิดชอบให้ แต่เสียความรู้สึกตรงที่ตกลงกันไว้สุดท้ายก็ไม่ทำ และตัวเราเองไม่ได้ตามให้ดีด้วยอะค่ะ
สุดท้ายคือพี่เค้าบอกให้เราไปทำเรื่องส่งประกันสังคมต่อเองค่ะ
ตอนนี้อยากทราบว่า เกินที่เค้าคุ้มครองมา 6เดือนแล้ว ยังสามารถทำเรื่องส่งประกันสังคมเองได้ไหมคะ ถ้าทำไม่ได้จะได้หาทางต่อไปค่ะ เพราะว่าวันนึงเราไม่รู้ว่าเราจะเป็นอะไร การประสบอุบัติเหตุเมื่อปลายปีก็เหมือนเตือนเราว่าอย่าประมาท ปกติไม่ได้เข้าโรงพยาบาลเว้นแต่ตอนเป็นมากๆจริงๆ ทำให้ตัวเราเองก็ละเลยตรงนี้ไปด้วย

ขอบคุณสำหรับคำแนะนำล่วงหน้าค่ะ