"ที่ที่" ถูกต้องครับ เพราะ 2 คำนี้ทำคนละหน้าที่กัน ไม่ใช่การซ้ำคำ โดย "ที่" คำแรกเป็นคำนามบอกสถานที่ (place) ส่วน "ที่" คำหลังทำหน้าที่เป็นคำเชื่อมขยายความคำนามข้างหน้า (คล้ายๆ that, which, where ในภาษาอังกฤษ) ผมไม่ทราบคำเรียกทางไวยากรณ์ไทยเรียกว่าอะไร แต่ถ้าแทนที่ด้วย "ซึ่ง" ก็ได้เหมือนกันเป็น "ที่ซึ่ง"

ส่วน "ที่ๆ" ที่เป็นคำซ้ำ จะใช้ในประโยคประมาณ "วางของให้เป็นที่ๆหน่อยซิ"