ฟ้องเลี้ยงดูบุตร กรณีนี้พ่อมีสิทธิ์ชนะไหมคะ

หนูกับแฟนแต่งงานกันแต่ไม่ได้จดทะเบียนสมรสกัน เราอยู่กินด้วยกันมา 4 ปีค่ะ ตอนนี้มีลูก 1 คน อายุ 2 ขวบ ตอนนี้เรามีปัญหากันทะเลาะกันเพราะว่าเค้าจับได้ว่าหนูไปมีผู้ชายคนอื่นโดยมีรูปถ่ายและข้อความในไลน์ซึ่งคุยกันนานแล้ว แล้วตอนนี้ก็ไม่ได้คุยกันแล้ว ซึ่งการทำผิดครั้งนี้เป็นการทำผิดครั้งแรก แล้วก็เป็นการทำผิดที่ไม่ได้ตั้งใจ แต่หนูก็ยอมรับผิดทุกอย่างและจะไม่ทำอีก หนูพยายามง้อเค้าเพื่อให้เค้ากลับมาอยู่กับลูก แต่เค้าไม่ยอมกลับมา ตอนนี้เรื่องเพิ่งจะผ่านไปได้ 1เดือน เค้าขู่ว่าจะฟ้องเอาลูกไปเลี้ยงดูเองโดยเราไม่มีสิทธิ์อะไร เพราะแม่ทำผิด ในกรณีนี้เค้าสามารถฟ้องเอาลูกไปได้ไหมคะ หนูไม่อยากให้เค้าเอาลูกไปเลย พอจะมีทางไหมคะ รบกวนถามผู้รู้หน่อยค่ะ
หมายเหตุ ครอบครัวเราทั้งคู่ฐานะปานกลางทั้งคู่ค่ะ  แต่ทางบ้านหนูก็มีหนี้สินบ้าง ตลอดเวลาเค้าที่ผ่านมาทางเงินเดือนของสามีก็ซื้อนมซื้อของให้ลูกตลอด เพราะหนูต้องจ่ายภายในครอบครัว