Prove this.

รอนานแล้วยังไม่มีคนตอบ

ขออนุญาตตอบแล้วกัน

กำหนดให้ความยาวด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC เป็น s
โดย Power of point
จากจุด A มีเส้นตรงไปตัดวงกลมที่จุด D, E และ I, H
ดังนั้น AD*AE = AI*AH
(หรือจะพิสูจน์ง่าย ๆ โดยการลากเส้น DH, EI จะได้สามเหลี่ยม ADH คล้ายกับสามเหลี่ยม AIE)
--> AD * (AB - BE) = AI * (AC - CH)
a * (s - y) = x * (s - c) ................ [1]
ในทำนองเดียวกัน
b * (s - z) = y * (s - a) ...............  [2]
c * (s - x) = z * (s - b) ................ [3]

[1] + [2] + [3]; จัดรูป กำจัด ay, bz, cx ออกทั้ง 2 ข้างจะได้
as + bs + cs = xs + ys + zs

--> a + b + c = x + y + z

QED