Prove this.

ทำได้แล้ว แต่ไม่น่าจะเป็น best solution เพราะยาวพอตัว

ใช้ Law of Cosine ผสมกับสามเหลี่ยมคล้าย

By law of cosine
AB² = AC² + BC² - 2*AC*BC*cos(135^o)
แต่ AB = b + c;
AC² = a² + b²; BC² = a² + c²;
cos(135^o) = - sqrt(2)/2

แทนค่าจะได้
b² + 2bc + c² = a² + b² + a² + c² + sqrt(2)*AC*BC
ย้ายข้างแล้วจัดรูปจะได้
2bc - 2a² = sqrt(2)*AC*BC
bc - a² = (sqrt(2)*AC*BC)/2 ................... [1]

สร้างเพิ่มเติม โดยจากจุด A ลากเส้นไปตั้งฉากกับส่วนต่อของเส้นตรง BC ที่จุด X
จะได้ สามเหลี่ยม BCD คล้ายกับสามเหลี่ยม BAX
--> CD/AX = BC/BA --> CD*BA = BC*AX
แค่ สามเหลี่ยม AXC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมฉาก ดังนั้น AX = AC/sqrt(2) = (sqrt(2)*AC)/2
แทนค่าจะได้
CD*BA = BC*(sqrt(2)*AC)/2
a(b+c) = (sqrt(2)*AC*BC)/2 ...................... [2]

[1] = [2] -->
bc - a² = a(b+c) .......................[3]
bc = a(a+b+c)
1/(a+b+c) = a/bc ..................................... [4]

จาก [3]
bc - a² = a(b+c)
bc - a(b+c) = a²
หารตลอดด้วย abc
1/a - 1/c - 1/b = a/bc ................................ [5]

[4] = [5]
1/a - 1/b - 1/c = 1/(a+b+c)

ตามที่โจทย์ต้องการ

สอบจริง ๆ ผมก็คงทำไม่ทัน