สุดยอดความคิดเห็น
ความคิดเห็นที่ 1
ถ้าจะนิยามให้มันมีก็มีได้ครับ แต่แค่นี้ก็เพียงพอและสมบูรณ์แล้ว
ตอนแรกเรามีระบบจำนวนนับ 0,1,2,3,...
พอจะแก้ปัญหาการบวกการลบ เราพบว่ามันจะมีประโยชน์มากถ้าเรานิยามจำนวนเต็มลบ -1,-2,-3,... ซึ่งทำให้เราได้ระบบจำนวนเต็มขึ้นมา
พอเรามีระบบจำนวนเต็ม ...-,3,-2,-1,0,1,2,3,...
เราก็พบอีกว่าในการแก้ปัญหาการคูณการหาร มันจะมีประโยชน์มากถ้าเรานิยามเลขเศษส่วนขึ้นมา 1/2, 2/3, 3/4,.... ซึ่งทำให้เราได้ระบบจำนวนตรรกยะขึ้นมา
พอเรามีระบบจำนวนตรรกยะ 1/2,2/3,3/4,...
เราก็พบอีกว่าในการแก้ปัญหาพหุนามบางอย่างเช่น x2=2 ฯลฯ มันไม่มีคำตอบ นั่นคือมันมี"ช่องว่าง"ในระบบจำนวนตรรกยะ ดังนั้นมันจะมีประโยชน์มากถ้าเราเติมเต็ม"ช่องว่าง"นี้ โดยการทำกระบวนการที่เรียกว่า Completion ทำให้เราได้ระบบจำนวนจริงขึ้นมา
พอเรามีระบบจำนวนจริง
เราก็พบอีกว่าระบบจำนวนจริงมันไม่ compact เราก็เลยจับค่าอินฟินิตี้นี้มาเป็นเลขจำนวนจริงตัวหนึ่งซะเลย ซึ่งเราเรียกกระบวนการนี้ว่า Compactification ทำให้เราได้ระบบจำนวนจริงขยาย(Extended real line)
จากกระบวนการทั้งหมดนี้จะเห็นว่าระบบตัวเลขที่ใช้มัน perfect แล้วครับ ไม่มี"ช่องว่าง"อีกต่อไป ค่าอินฟินิตี้ก็กลายมาเป็นตัวเลข
เอาจริงๆแค่ระบบจำนวนจริงธรรมดา(ที่ไม่ผ่านการ compactification) ก็ใช้งานได้สารพัดประโยชน์แล้วครับ การใช้งานในทางวิทยาศาสตร์ไม่มีใครเอา extended real line ไปใช้ด้วยซ้ำ ถ้าจำนวนจริงมันไม่เพียงพอก็ข้ามไปใช้จำนวนเชิงซ้อนเลย
แต่ถึงกระนั้นก็ยังมีคนนิยามจำนวนจริงเพิ่มขึ้นอีก เช่น Hyperreal numbers, Surreal numbers แต่ก็ไม่เป็นที่ใช้งานกว้างขวางเพราะไม่รู้จะเอาไปประยุกต์ใช้งานอะไร
ตอนแรกเรามีระบบจำนวนนับ 0,1,2,3,...
พอจะแก้ปัญหาการบวกการลบ เราพบว่ามันจะมีประโยชน์มากถ้าเรานิยามจำนวนเต็มลบ -1,-2,-3,... ซึ่งทำให้เราได้ระบบจำนวนเต็มขึ้นมา
พอเรามีระบบจำนวนเต็ม ...-,3,-2,-1,0,1,2,3,...
เราก็พบอีกว่าในการแก้ปัญหาการคูณการหาร มันจะมีประโยชน์มากถ้าเรานิยามเลขเศษส่วนขึ้นมา 1/2, 2/3, 3/4,.... ซึ่งทำให้เราได้ระบบจำนวนตรรกยะขึ้นมา
พอเรามีระบบจำนวนตรรกยะ 1/2,2/3,3/4,...
เราก็พบอีกว่าในการแก้ปัญหาพหุนามบางอย่างเช่น x2=2 ฯลฯ มันไม่มีคำตอบ นั่นคือมันมี"ช่องว่าง"ในระบบจำนวนตรรกยะ ดังนั้นมันจะมีประโยชน์มากถ้าเราเติมเต็ม"ช่องว่าง"นี้ โดยการทำกระบวนการที่เรียกว่า Completion ทำให้เราได้ระบบจำนวนจริงขึ้นมา
พอเรามีระบบจำนวนจริง
เราก็พบอีกว่าระบบจำนวนจริงมันไม่ compact เราก็เลยจับค่าอินฟินิตี้นี้มาเป็นเลขจำนวนจริงตัวหนึ่งซะเลย ซึ่งเราเรียกกระบวนการนี้ว่า Compactification ทำให้เราได้ระบบจำนวนจริงขยาย(Extended real line)
จากกระบวนการทั้งหมดนี้จะเห็นว่าระบบตัวเลขที่ใช้มัน perfect แล้วครับ ไม่มี"ช่องว่าง"อีกต่อไป ค่าอินฟินิตี้ก็กลายมาเป็นตัวเลข
เอาจริงๆแค่ระบบจำนวนจริงธรรมดา(ที่ไม่ผ่านการ compactification) ก็ใช้งานได้สารพัดประโยชน์แล้วครับ การใช้งานในทางวิทยาศาสตร์ไม่มีใครเอา extended real line ไปใช้ด้วยซ้ำ ถ้าจำนวนจริงมันไม่เพียงพอก็ข้ามไปใช้จำนวนเชิงซ้อนเลย
แต่ถึงกระนั้นก็ยังมีคนนิยามจำนวนจริงเพิ่มขึ้นอีก เช่น Hyperreal numbers, Surreal numbers แต่ก็ไม่เป็นที่ใช้งานกว้างขวางเพราะไม่รู้จะเอาไปประยุกต์ใช้งานอะไร
Little_playboy ถูกใจ, LFC#championBPL2014 ถูกใจ, aLITTLEspaceAround7day ถูกใจ, สมาชิกหมายเลข 1465708 ถูกใจ, BlueDelphi ถูกใจ, pedpukking ถูกใจ, ต้นไผ่ไหวเอน ทึ่ง
แสดงความคิดเห็น
เป็นไปได้ไหมครับ ที่ในระบบจำนวนจริงจะมีจำนวนที่ยังไม่ได้ค้นพบ
ก็มีแค่ 1 2 3 ฯลฯ
จำนวนเต็มลบ ศูนย์ จำนวนเฉพาะ และเศษส่วนเป็นสิ่งที่เราสร้าง(หรือค้นพบ)มันทีหลัง
เราเรียกพวกมันรวมๆกันว่า จำนวนตรรกยะ เจ้าพวกนี้สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้
จำนวนจริงที่คนยุคนั้นรู้จักเหมือนจะหมดแล้ว ไม่มีอีกแล้วละ
แต่ลูกศิษย์พีทาโกรัสก็ได้ค้นพบว่ามีบางจำนวนที่ไม่สามารถเขียนแทนด้วยเศษส่วนได้
ในยุคนี้เราเรียกจำนวนนั้นว่า จำนวนอตรรกยะ
ส่วนลูกศิษย์คนนั้นก็ได้รับรางวัลด้วยการ...[Spoil] คลิกเพื่อดูข้อความที่ซ่อนไว้
เอาละ คงหมดแล้ว...มั้ง
แต่แล้วก็มีการค้นพบ จำนวนอดิศัย ซึ่งเป็นจำนวนที่ไม่เป็นคำตอบของสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ
การแบ่งจำนวนจริงเป็นประเภทต่างๆอย่างคราวๆตามใจฉันก็ประมาณนี้
ที่อารัมภบทมาซะยาวสรุปสั้นๆคือผมอยากถามว่า
เป็นไปได้ไหมครับ ที่ในระบบจำนวนจริงจะมีจำนวนที่ยังไม่ได้ค้นพบ
เพราะดูจากอดีตแล้วเหมือนมนุษย์จะค้นพบจำนวนประเภทใหม่ๆได้เรื่อยๆ
ปล.ถามสั้นนิดเดียว แล้วผมจะพิมพ์ซะยาวทำไมเนี่ย