พิสูจน์ apsoloute

เนื่องจาก ทั้ง |x + y| และ |x|+|y| ต่างก็ >= 0 ทั้งคู่
ดังนั้น ยกกำลังสองทั้งสองฝั่งของอสมการ ก็ยังเป็นจริงอยู่

| x + y |² <= ( |x| + |y| )²

เนื่องจาก  | x + y |² = ( x + y )²
( x + y )² <= ( |x| + |y| )²

x² + 2xy + y² <= |x|² + 2|x| |y| + |y|²

x² + 2xy + y² <= x² + 2|xy| + y²

ลบออกด้วย x² + y² ทั้งสองฝั่ง
2xy <= 2|xy|

xy <= |xy|

กรณีแรก xy > 0   จะได้ว่า xy = |xy|

กรณีสอง xy = 0  จะได้ว่า  xy = |xy|

กรณีสาม  xy < 0  จะได้ว่า  |xy| > 0  ทำให้  xy < |xy|  (จำนวนลบ < จำนวนบวกเสมอ)

รวมสามกรณี ก็กลายเป็น xy <= |xy|
ซึ่งเป็นข้อพิสูจน์ว่า  |x+y|<=|x|+|y|